Nolineales

M´
etodos Num´
ericos (SC–854)
Soluci´
on de ecuaciones no lineales
c M. Valenzuela 2007–2008
(5 de mayo de 2008)

1.

Definici´
on del problema: ra´ıces de ecuaciones no lineales
Dada una ecuaci´
on de una variable independiente x,
f (x) = 0,

(1)

se desea encontrar el valor o valores de x que hacen que se cumpla la igualdad, donde en
general, f es una funci´
on no lineal de x, es decir, que nopuede expresarse como f (x) =
c0 +c1 x donde c0 y c1 son constantes. A los valores de x que hacen que se cumpla la igualdad
se les denomina ra´ıces de la ecuaci´
on 1.

2.

M´
etodo de bisecciones sucesivas

El m´etodo de bisecciones sucesivas comienza con un intervalo [x1 , x2 ] donde se sabe que
existe una ra´ız de la ecuaci´
on, y por lo tanto se debe cumplir que
f (x1 )f (x2 ) < 0.

(2)

Esteintervalo se divide a la mitad calculando
xnueva =

x1 + x2
.
2

(3)

Si f (x1 ) · f (xnueva ) < 0 se sabe que una ra´ız se encuentra en el intervalo (x1 , xnueva ) y se
puede continuar el algoritmo sustituyendo x2 por xnueva . En caso contrario, la ra´ız debe
caer en el intervalo (x2 , xnueva ) y el algoritmo puede continuarse sustituyendo x1 por xnueva .
En la figura 1 se muestra un ejemplo dela forma en que trabaja el m´etodo de bisecciones
sucesivas.

3.

Punto fijo (iteraci´
on simple)

En el m´etodo de punto fijo, la ecuaci´
on f (x) = 0 se transforma a la forma g(x) = x, y
´esta se utiliza como una regla recursiva, es decir,
x(t + 1) = g (x(t)) .

(4)

x ← g(x)

(5)

o lo que es lo mismo
En la figura 3 se muestra un ejemplo de la forma en que trabaja el m´etodo de punto fijo.
Elm´etodo de iteraci´on simple converge converge a una ra´ız r de la ecuaci´
on g(x) = x si
g(x) y g (x) son continuas en un intervalo alrededor de r, si
g (x) < 1,

(6)

para todo ese intervalo, y si x1 se escoge en ese intervalo. N´otese que ´esta es una condici´on
suficiente, pero no necesaria.

Soluci´on de ecuaciones no lineales

M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x)

f (x2 )

f (xnueva )

x1
xnuevax2

x

f (x1 )

Figura 1: M´etodo de bisecciones sucesivas.

Function Bisecciones(f ,x1,x2 )
1
2
3
4
5
6

7
8

repeat
x1 + x2
;
2
if f (x1 )f (xnueva ) < 0 then
x2 ← xnueva ;
else
x1 ← xnueva ;
xnueva ←

x1 − x2
<ε´
o f (xnueva ) = 0 ;
xnueva
return xnueva
until

Figura 2: Implementaci´on en pseudoc´
odigo del m´etodo de bisecciones sucesivas.

c M. Valenzuela, 2007–2008 (5 de mayo de 2008)P´agina 2

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M´etodos Num´ericos (SC–854)

y

y=x
g(x1 )
x2 = g(x1 )

x3 = g(x2 )

g(x2 )
y = g(x)

x1

x3 x5

x6 x4 x2

x

Figura 3: M´etodo de punto fijo.

Function PFijo(g,x)
1
2
3

4
5

repeat
xant ← x ;
x ← g(x) ;
x − xant
until
<ε;
x
return x

Figura 4: Implementaci´on en pseudoc´
odigo del m´etodo de punto fijo.

c M. Valenzuela, 2007–2008 (5 de mayo de 2008)P´agina 3

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M´etodos Num´ericos (SC–854)

f (x)

f (x(t))

θ
x
x(t + 1)

x(t)

Figura 5: Explicaci´
on del m´etodo de Newton-Rapson.

4.

M´
etodo Newton-Rapson

El m´etodo de Newton-Rapson se debe inicializar en un valor de x cercano a una ra´ız. El
m´etodo asume que la funci´
on es aproximadamente lineal en ese valor y por lo tanto, toma
como una mejoraproximaci´on a la ra´ız un la intersecci´
on de la linea tangente a f (x) y su
intersecci´
on con el eje x como se muestra en la figura 5. De la figura podemos ver que
f (x(t))

tan θ = f (x(t)) =

x(t) − x(t + 1)

,

(7)

de donde obtenemos la regla recursiva
x(t + 1) = x(t) −

f (x(t))
,
f (x(t))

(8)

o lo que es lo mismo
x←x−

f (x)
,
f (x)

(9)

Tomando la idea de la condici´
on de convergencia deiteraci´
on simple, la condici´
on para
Newton-Rapson es la siguiente
d
dx

x−

f (x)
f (x)

< 1,

(10)

que es equivalente a
f (x)f (x)
f (x)

2

<1

(11)

De nuevo, ´esta es una condici´on suficiente, pero no necesaria.

c M. Valenzuela, 2007–2008 (5 de mayo de 2008)

P´agina 4

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M´etodos Num´ericos (SC–854)

Function NewtonRapson(f ,f ,x)
1
2
3

4
5

repeat...