nombres complexos

Problemas resueltos
1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
a) z =

a) z

=

b) w

=
=

c) u =

(3 + i)(1 − 2i)
2+i

b) w =

1 + i3
(1 − i)3

c) u =

1
1
+
1+i 1−i

(3 + i)(1 − 2i)
5 − 5i
(5 − 5i)(2 − i)
5 − 15i
=
=
=
= 1 − 3i
2+i
2+i
(2 + i)(2 − i)
5
1−i
1−i
1−i
1 + i3
=
=
=
=
(1 − i)3
1 − 3i − 3i2 − i3
1 − 3i − 3 + i
−2− 2i
(1 − i)(−2 + 2i)
4i
1
=
=0+ i
(−2 − 2i)(−2 + 2i)
8
2
2
1
1−i+1+i
2
1
= = 1 = 1 + 0i
+
=
=
1+i 1−i
(1 + i)(1 − i)
1 − i2
2

2. Calcula i431
Puesto que 431 = 107 × 4 + 3 se sigue que i431 = i3 = −i
3. Calcular la forma cartesiana de
z = i1999 + i2000
Por un lado, i1999 = i499×4+3 = i3 = −i. Por otra parte, i2000 = i500×4 =
1. Por tanto,
z = i1999 + i2000 = 1 − i4. Sea z = 1 − 2i. Calcula z 5
µ ¶ µ ¶
µ ¶
µ ¶
5
5
5
5
5
5
2
z = (1 − 2i) =
−
(2i) +
(2i) −
(2i)3 +
0
1
2
3
µ ¶
µ ¶
5
5
+
(2i)4 −
(2i)5 = 1 − 10i − 40 + 80i + 80 − 32i = 41 + 38i
4
5
5. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:
√
√
a)2i b) − 4 c)5 + 5i d) − 6 + 6 3i e) − 3 − 3i f )2 3 − 2i
a) z = 2i

|z| = r = 2
z = 2i = (2,Arg(z) =

π
2.

Por tanto,

π
π
π
π
) = 2 e 2 i = 2(cos + isen )
2
2
2

1

b) z = −4

|z| = r = 4

Arg(z) = π. Por tanto,

z = −4 = (4, π) = 2 eπi = 2(cos π + isenπ)
√
c) z = 5 + 5i
|z| = r = 5 2
Arg(z) = Arc tan 1 = π4 . Por tanto,
√ π
√
√ π
π
π
z = 5 + 5i = (5 2, ) = 5 2 e 4 i = 5 2(cos + isen )
4
4
4
√
√
|z| = r = 12
Arg(z) = π−Arc tan 3 = π− π3 =
d) z =−6+6 3i
2π
3 . Por tanto,
√
2π
2π
2π
2π
z = −6 + 6 3i = (12,
) = 12 e 3 i = 12(cos
+ isen )
3
3
3
√
Arg(z) = π+Arc tan 1 = π+ π4 = 5π
e) z = −3−3i
|z| = r = 3 2
4 .
Por tanto,
√ 5π
√
√ 5π
5π
5π
z = −3 − 3i = (3 2,
) = 3 2 e 4 i = 3 2(cos
+ isen )
4
4
4
√
|z| = r = 4
Arg(z) = − π6 . Por tanto,
f ) z = 2 3 − 2i
√
π
π
π
π
z = 2 3 − 2i = (4, − ) = 4e− 6 i = 4(cos −isen )
6
6
6

6. Expresar de todas las formas posibles los siguientes números complejos:
a) 5 + 3i

b) 3 − 2i
c) 1 + i
d) − 4i
√
Argz = Arc tan 35 = 0, 54. Por tanto,
a) z = 5 + 3i
r = |z| = 34
√
z = 5 + 3i = (5, 3) = ( 34, 0, 54) =
√ 0,54i √
=
34e
= 34(cos(0, 54) + isen(0, 54))
√
Argz = −Arc tan 23 = −0, 588. Por
b) z = 3 − 2i
r = |z| = 13
tanto,
√
z = 3 − 2i = (3, −2)= ( 13, − 0, 588) =
√ −0,588i √
=
13e
= 13(cos(0, 588) − isen(0, 588))
√
Argz = Arc tan 1 = π4 . Por tanto,
c) z = 1 + i
r = |z| = 2
√ π
z = 1 + i = (1, 1) = ( 2, ) =
4
√ πi √
π
π
=
2e 4 = 2(cos( ) + isen( ))
4
4
d) z = −4i

Argz = − π2 . Por tanto,
π
= −4i = (0, −4) = (4, − ) =
2
π
π
−π
i
= 4e 2 = 4(cos − isen )
2
2

r = |z| = 4
z

2

7. Calcular
a) (1 +4i)3
a) (1 + 4i)3

b) (1 + i)4

= 13 + 3 · 12 · 4i + 3 · (4i)2 + (4i)3 =
= 1 + 12i − 48 − 64i = −47 − 52i

µ

¶ µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
4
4
4
4
4
2
3
=
+
i+
i +
i +
i4 =
0
1
2
3
4
= 1 + 4i − 6 − 4i + 1 = −4 = −4 + 0i

4

b) (1 + i)

Otra
de alcanzar este resultado consiste en darse cuenta que 1 + i =
√ πforma
2e 4 i . Por tanto,
√
(1 + i)4 = ( 2)4 eπi = −4
8.Calcular
(1 + i)5
µ

¶ µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
5
5
5
5
5
5
2
3
4
(1 + i) =
+
i+
i +
i +
i +
i5 =
0
1
2
3
4
5
= 1 + 5i − 10 − 10i + 5 + i = −4 − 4i
√ π
Si escribimos 1 + i = 2e 4 i y aplicamos la fórmula de Moivre resulta que
√
√
5π
5π
5π
(1 + i)5 = ( 2)5 e 4 i = 4 2(cos
+ isen ) =
4
4
√
1
1
= 4 2(− √ − i √ ) = −4 − 4i
2
2
5

9. Encuentra la parte real yla parte imaginaria de e(3+4i)x
e(3+4i)x = e3x e4ix = e3x (cos 4x + isen4x)
Por tanto,
Re e(3+4i)x = e3x cos 4x

;

Im e(3+4i)x = e3x sin 4x
π

10. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de e2+ 3 i
2+ π
3i

e

2

=e e

π
3i

√
3
π
π
2 1
= e (cos + isen ) = e ( + i
)
3
3
2
2
2

Por tanto,
2+ π
3i

Re e

e2
=
2

;

3

Im e

2+ π
3i

√...