Nope

´ LOS NUMEROS REALES

1

El conjunto de n´meros reales u

S´ ımbolo

Nombre

Descripci´n o

Ejemplos

N

N´meros naturales u

N´meros para contar (tambi´n llamados enteros u e positivos) N´meros naturales, sus negativos, y 0. u

1, 2, 3, ....

Z

Enteros

..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....

Q

N´meros racionales u

N´meros que se pueden representar como a/b u donde a yb son enteros y b = 0; las representaciones decimales son repetitivas (peri´dicas) o o finitas. N´meros que se pueden representar como u expresi´n decimal infinita o y no peri´dica. o N´meros racionales e irracionales. u

3 2 −4, 0, 1, 25, − 5 , 3 , 3.67, −0333, 5.23427

I

N´meros irracionales u

√ 2, π, 3 7 1.414213, ... e (2.71828182...)

√

R

N´meros reales u

Propiedadesb´sicas del conjunto de n´ meros reales. a u
Sea R el conjunto de n´meros reales, y sea x, y y z elementos arbitrarios de R. u

Propiedades de la suma.

Cerradura: Asociativa: Conmutativa: Identidad:

x + y es un elemento unico en R ´ (x + y) + z = x + (y + z) x+y =y+x 0 es la identidad aditiva; es decir, 0 + x = x + 0 = x para toda x en R, y 0 es el unico elemento en R que tiene esta propiedad. ´Para cada x en R, −x es el unico inverso aditivo; es decir, ´ x + (−x) = (−x) + x = 0, y −x es el unico elemento en R respecto a x, con esta propiedad. ´

Inversa:

1 Elabor´: o

Adriana Caballero Rosas.

Propiedades de la multiplicaci´n. o

Cerradura: Asociativa: Conmutativa: Identidad:

xy es un elemento unico en R (xy)z = x(yz) xy = yx 1 es la identidad multiplicativa; es decir,para cada x en R (1)x = x(1) = x, y 1 es es el unico elemento en R que tiene esta propiedad. ´ Para cada x en R, x = 0, 1/x es el unico inverso multiplicativo; es decir, ´ x(1/x) = (1/x)x = 1, y 1/x es el unico elemento en R respecto a x, que tiene ´ esta propiedad.

Inversa:

Propiedad combinada. Distributiva: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

La recta real. Se suelen representar losn´meros reales sobre una recta que llamamos la recta real, con centro en 0 y que se u extiende sin tope en ambas direcciones, positiva (derecha) y negativa (izquierda).

Conjuntos e intervalos.
Un conjunto2 es una colecci´n de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la o notaci´n a ∈ S significa que a es un elemento de S, y b ∈ S significa que b no es un elemento deS. o / Algunos conjuntos se pueden describir listando sus elementos entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Tambi´n podr´ e ıamos escribir A en notaci´n constructiva de conjuntos en la forma o A = { x | x es un entero y 0 < x < 7 }

Si S y T son conjuntos, entonces su uni´n S T es el conjuntoconstituido por todos los elementos que est´n en o a S o en T (o en ambos). La intersecci´n de S y T es el conjunto S T formado por todos los elementos que est´n o a tanto en S como en T . En otras palabras S T es la parte com´n de S y de T . El conjunto vac´ denotado como u ıo Ø es el conjunto que no contiene ning´n elemento. u

2 Georg Cantor (1845-1918) desarroll´ la teor´ de conjuntos como ungran resultado de sus estudios acerca del infinito. Su trabajo ha o ıa sido la piedra angular en el desarrollo de las matem´ticas. a

Propiedades de orden de los n´ meros reales. u

Sean a, b y c elementos de R. 1. Si a > b y b > c, entonces a > c. 2. Si a > b, entonces a + c > b + c. 3. Si a > b, entonces a − c > b − c. 4. Si a > b y c es positivo, entonces ac > bc. 5. Si a > b y c esnegativo, entonces ac < bc.

Valor absoluto y distancia.
Si a es un n´mero real, entonces el valor absoluto de a es u |a| = a si a≥ 0 −a si a < 0

Propiedades del valor absoluto. Propiedad Descripci´n o

1. |a| = | − a| 2. |ab| = |a||b| 3. a |a| = b |b|

Un n´mero y su negativo tienen el mismo valor absoluto. u El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. El valor...