Normas

Cap´
ıtulo 2

Normas de Vectores y Matrices

2.1.

Introducci´n
o

En este cap´
ıtulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector para
centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas de
los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por
varias razones. Es necesario, por ejemplo, para definir de forma precisaconceptos
tales como series de potencias de matrices; y desde luego es b´sico para precisar lo
a
que se entiende por proximidad o lejan´ entre matrices, aspectos fundamentales en
ıa
el an´lisis de algoritmos en la computaci´n num´rica. Un par de ejemplos pueden
a
o
e
servir para ilustrar estas ideas.
Es conocido que si x es un n´mero complejo de m´dulo menor que 1 entonces
u
o

p1 ¡xq¡1  1   x   x2   x3   . . .
Esto sugiere la f´rmula
o

pI ¡ Aq¡1  I   A   A2   A3   . . .
27

28

Normas de Vectores y Matrices

para calcular la inversa de la matriz I ¡ A. Pero ¿cu´ndo es tal f´rmula v´lida?.
a
o
a
Resulta que es suficiente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y adem´s
a
cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertascondiciones
relativas a la norma de A la serie
V
¸1
Ak
k
i0
es convergente y sirve para definir la funci´n matricial eA .
o
Por otra parte, el c´lculo num´rico con matrices que proceden de datos experia
e
mentales, no es exacto; por lo general matrices est´n sometidas, bien sea por errores
a
de redondeo o por imprecisi´n en las mediciones,a peque˜as perturbaciones. Cu´n
o
n
a
peque˜as sonestas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cu´n lejos est´ la matriz
n
a
a
verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando
normas.
En todo este cap´
ıtulo supondremos que F es el cuerpo R de los n´meros reales
u
o el cuerpo C de los n´meros complejos.
u

2.2.

Normas de Vectores

2.2.1.

Definici´n y Ejemplos
o

Como es bien sabido, el conceptode norma de un vector es una generalizaci´n
o
del concepto de valor absoluto o m´dulo de un n´mero complejo.
o
u
Definici´n 2.1 .-Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funci´n ν :
o
o
V ÝÑ R es una norma en V si ν satiface las siguientes propiedades:
(i) x $ 0 ñ ν pxq ¡ 0.
(ii) ν pαxq  |α|ν pxq,

dα € F.

(iii) ν px   y q ¤ ν pxq   ν py q,

dx € V

(desigualdadtriangular)

2.2 Normas de Vectores

29

Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Definici´n 2.2.
o
Para cualquier norma ν
1. ν p0q  0 porque ν p0q  ν p0xq  0ν pxq  0.

2. ν p¡xq  ν pxq porque ν p¡xq  | ¡ 1|ν pxq  ν pxq

3. |ν pxq ¡ ν py q| ¤ ν px ¡ y q. En efecto, hay dos posibilidades:

a) ν pxq ¥ ν py q. En este caso |ν pxq¡ ν py q|  ν pxq¡ ν py q y por ladesigualdad
triangular ν pxq  ν ppx ¡ y q   y q ¤ ν px ¡ y q   ν py q.

b) ν pxq   ν py q. Entonces |ν pxq ¡ ν py q|  ν py q ¡ ν pxq y de nuevo por la
desigualdad triangular ν py q ¤ ν py ¡ xq   ν pxq  ν px ¡ y q   ν pxq.
Ejemplo 2.2 Se puede definir una infinidad de normas en Fn , sin embargo las
m´s utilizadas son las llamadas normas de H¨lder o normas p . En lo que sigue
a
osupondremos que x  px1 , x2 , . . . , xn q € Fn es un vector de Fn .
Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustraci´n la correspondiente
o
bola unidad en R2 ; i.e., el conjunto B p0, 1q  tx € R2 | x ¤ 1u.

(a)

La norma

1:

x

1



n
¸



| xi | .

i 1

(b)

La norma
x

2

o norma eucl´
ıdea:

2

d

n
¸



i 1

| xi | 2 .

30

Normas deVectores y Matrices

(c)

La norma V :
x V  m´x |xi |.
a
1¤i¤n

(d)

La norma
x

p

p



general (p ¥ 2):
£

n
¸



| xi | p

1{p

.

i 1

Demostrar que las normas p son, en efecto, normas es f´cil salvo la desigualdad
a
triangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. ´sta
e
a su vez, es consecuencia de otra desigualdad...