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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Elaborado por: Juan Pablo Gamboa A.



OBJETIVO 1
Caracterizar la función cuadrática de acuerdo con su criterio, su dominio,
codominio y su representación gráfica.

DEFINICIÓN

Una función f se llama cuadrática si es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c ; f : ℛ → ℛ

donde los coeficientes a, b y c son números reales y el coeficiente “a” es distinto decero ( a ≠ 0 ).
Es importante resaltar, como es claro, que la “fórmula o criterio de asignación” de la función cuadrática tiene la forma de un polinomio de segundo grado con una variable, o bien , la forma de una ecuación cuadrática, por lo que el coeficiente “a” acompaña a la expresión x2, el coeficiente “b” a la variable x y finalmente, el coeficiente “c” corresponde al términoindependiente.

La mayoría de las fórmulas presentes en este tema, están dadas en términos de los coeficientes, a, b y c por lo que realizaremos una pequeña práctica de identificación de los mismos.

PRÁCTICA N°1

Identifique los valores de los coeficientes a, b y c en cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

1) h(x) = – x2 –3 x + 7 a = ______ , b = ______, c = ______
2) p(x) = 5x + 2 + 4x2 a = ______ , b = ______ , c = ______
3) k(x) = a = ______ , b = ______ , c = ______
4) m(x) = – a = ______ , b = ______ , c = ______
5) w(x) = 15x2 + x – 8 a = ______ , b = ______ , c = ______
6) t(x)= x2 – 4 a = ______ , b = ______ , c = ______
7) f(x) = 4x – 10 + a = ______ , b = ______ , c = ______

La función cuadrática, al igual que otras funciones, tiene características básicas que permiten el estudio detallado de la misma. Vamos a enumerar y estudiar cada una de ellas en un orden lógico para su mejorcomprensión.

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

CARACTERÍSTICA N°1.

Concavidad:
La gráfica de la función cuadrática corresponde a una parábola, por lo que su forma se asemeja a una campana. La parábola puede ser “cóncava hacia abajo” o “cóncava hacia arriba”.
El signo del coeficiente “a” en la expresión f(x) = ax2 + bx + c , indica la concavidad de la gráfica de lafunción cuadrática.

CASO I. Si el coeficiente “a” es positivo, es decir, si a > 0, entonces la gráfica de la función cuadrática es cóncava hacia arriba.
como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

CASO II. Si el coeficiente “a” es negativo, es decir, si a < 0, entonces la gráfica de la función cuadrática es cóncava hacia abajo.
 como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

CARACTERÍSTICA N°2.

Eje deSimetría de la función Cuadrática:
Es una recta vertical y perpendicular al eje x. que la divide en dos partes iguales.

Ilustración.

En este dibujo se puede observar que la distancia del punto C al eje de simetría, es la misma que del punto D al mismo eje.

De igual forma, las distancias de los puntos A y B al eje de simetría son congruentes. De modo que el eje de simetría dividela gráfica en dos partes (brazos) iguales.

Si esta hoja se dobla a través del eje de simetría y se mira contra luz, uno de los brazos de la gráfica queda exactamente encima del otro.

FÓRMULA PARA CALCULAR EL EJE DE SIMETRÍA.

El eje de simetría de una función cuadrática, f (x) = ax2 + bx + c, se calcula con la fórmula:

Esta expresión se puede leer, “el opuesto de b entre dos pora”.

Ejemplo .

Calcule el eje de simetría de la función cuadrática h(x) = 5x2 – 4x + 6.

Solución.

En esta función, el valor de los coeficientes a, b y c , son: a = 5, b = – 4 y c = 6, por lo que:

=
Entonces, el eje de simetría de esta función cuadrática es, x = .

PRÁCTICA N°2

Calcule el eje de simetría de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.

1-)...