Notas De Clase

Cap´ıtulo 2
Funciones Vectoriales
2.1.

Funciones vectoriales y su gr´
afica

En la secci´on 1.16 se vio que es posible definir la ecuaci´on de una recta en
el espacio param´etricamente. No solo las rectas pueden definirse de esta manera,
en general, cualquier curva en el espacio puede definirse param´etricamente de
acuerdo a la siguiente definici´on:
Defincion 2.1. 1:
Una curva en el espacio esel conjunto de puntos en el espacio de coordenadas (x, y, z) que satisfacen las ecuaciones:

x = f (t)

y = g(t)

z = h(t)

en donde f , g y h son funciones continuas del par´ametro t
Basta con dar diversos valores al par´ametro t en las ecuaciones param´etricas,
para obtener puntos en el espacio pertenecientes a la curva. Trabajemos el siguiente ejemplo:

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2.1. Funciones vectoriales y su gr´afica

Vamos a auxiliarnos del software Mathematica para graficar algunas curvas
representativas para este curso, tanto en dos como en tres dimensiones.
Consideremos la curva definida por las siguientes ecuaciones param´etricas:
x=t
1
y = t2
2

En la figura 2.1, se muestran las instrucciones y la salida correspondiente
realizada en Mathematica, graficando la funci´on descrita para valores de tentre
0 y 3.
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ParametricPlot

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t2 ,

t,

t, 0, 3

2

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Figura 2.1: Gr´
afica de una funci´
on dadas sus ecuaciones param´
etricas.
Nosotros podr´ıamos realizar un bosquejo de dicha gr´afica, evaluando valores
arbitrarios del par´ametro t en las ecuaciones x(t) y y(t) e ir obteniendo puntos
decoordenadas (x, y) de la curva.
En las figuras 2.2 a 2.5 se muestran algunas curvas param´etricas en dos dimensiones.
Sin embargo, es perfectamente posible el pensar en funciones param´etricas en
tres dimensiones, tal como lo muestra las figuras 2.6 y 2.7.
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2.1. Funciones vectoriales y su gr´
afica

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Figura 2.2: Una recta

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Figura 2.3: Una par´abola

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Figura 2.4: Una circunferencia

Figura2.5: Una elipse

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2.1. Funciones vectoriales y su gr´
afica

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Figura 2.6: Espiral 1

Figura 2.7: Espiral 2

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2.1. Funciones vectoriales y su gr´
afica

Pues bien, vamos a usar la idea de las curvas definidas param´etricamente
para concebir la existencia de una funci´on vectorial. Si una curva, digamos en dos
dimensiones, est´a definida por las ecuaciones param´etricas
x = f (t)

y = g(t)

−
→
Podemos considerar una funci´
on vectorial R (t) = f(t)i + g(t)j, la cual, a
cada valor de t nos genera un vector, mientras que las ecuaciones param´etricas
nos arrojan un punto. Es posible consider que el vector generado parte del origen
y se dirige al punto de la curva, tal como lo ilustra la figura 2.8.

Figura 2.8: Vector dirigido del v´
ertice al punto de la curva.
Si consideramos al par´ametro t como el tiempo, es posible interpretar alpunto
de la curva (f (t), g(t)) como la posici´on instant´anea de un objeto en movimiento,
de esta manera, la punta del vector, indica tambi´en la posici´on del m´ovil, y por
ello le llamaremos vector de posici´
on .
Las ideas anteriores ser´an extendibles tambi´en a vectores ene el espacio.

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2.2. Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales

2.2.

Derivadas e Integrales de Funciones...