Numeros Complejos -Secuencia-

Secuencia Formativa
“Números Complejos”


Secuencia formativa
NÚMEROS COMPLEJOS

Tema: Números Complejos

Objetivos:
* Conocer el conjunto de números complejos.
* Reconocer las situaciones problemáticas donde se lleve a cabo su utilización.
* Aprender sus diferentes representaciones.
* Realizar operaciones básicas con números complejos (adición, sustracción, producto yDivisión).
* Conocer sus propiedades.

Fase de inicio

Conocimientos previos: -Operaciones con números reales.
-Representación en ejes cartesianos.
-Razones trigonométricas.

Fase de inicio

Se va a presentar una situación problemática donde el planteo resulte con la forma de una ecuacióncuadrática. La resolución de este problema no pertenece al conjunto de números reales, por ende los alumnos hasta el momento no podían resolver este tipo de ejercicios, determinando que el ejercicio "no tenia solución" o no la tenía en el conjunto de números reales, desde este punto se comienza la presentación del nuevo conjunto de números complejos que surge de la necesidad de resolver este tipo desituaciones que antes el alumno estaba imposibilitado de solucionar con el bagaje que poseía.

La situación Problemática es la siguiente:

¿Es posible expresar el número 10 como la suma de otros dos números, cuyo producto es igual a 40?

Planteo:

Nos quedan planteadas dos ecuaciones:
x+y=10 y=10-x (1)

x .y=40 (2)

Remplazamos 1 es 2:

x .10-x=40
10x-x2=40
-x2+10x-40=0

Lasolución a esta cuadrática sería la siguiente:

x1,2=-b±b2-4ac2a -10±102-4-1(-40)2(-1)=

Lo que nos da: x1=5+-15

x2=5--15

Estas raíces negativas no tienen solución en números reales, por lo tanto para encontrarle solución a esto vamos a tener que ingresar en el conjunto de los complejos.

Fase de desarrollo

Números complejos (c)

Llamaremosnúmeros complejos a un Z que se escriba con la forma a + b i, donde a y b son números reales, e i verifica i2= -1.
El numero a se llama parte real de Z y el numero b parte imaginaria de Z.

En general las ecuaciones que no tengan solución en el conjunto de números reales, admitirá como soluciones dos números que poseen la forma:

Parte real de Z

a + b i y a - b iParte imaginaria de Z

Se denomina con la letra C al conjunto de números complejos:

C=ZZ=a+bi;a ε R, b ε R

Todas las ecuaciones de la forma ax2+bx+c=0 con b2-4.a.c<0, no tiene solución en R, tiene solución en el conjunto C.Por lo tanto, la solución de nuestro problema quedaría expresada de la siguiente manera en números complejos:
x1=5+15 .i

x2=5-15 . i

Propiedades y casos particulares:
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejos Z = a + bi y Z̅ = a − bi se llaman conjugados.
Dos complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real y partes imaginariasopuestas.

Grafico del plano cartesiano de números complejos, conjugados y opuestos:



Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro, ejemplo:

0 + 8 i; 2 i; π i; -i

Ejemplo:

Dado Z= 3 + 2i, hallar el opuesto de Z y el conjugado

Opuesto: W = -3 -2iConjugado: Z̅ = 3 – 2i
Modulo de un número complejo:

El modulo de un numero complejo es el modulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|

|Z| = a + b i

r = |z| = a2+b2



Ejemplo:

Hallar el módulo de Z = -2 + i.

|Z| = -22+ i2= 3

Argumento de un número complejo:

El argumento de un...