NUMEROS COMPLEJOS

Matemáticas
1
1

EJERCICIOS RESUELTOS:
Números Complejos

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Interpretación geométrica de la suma y el producto

1

Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número

z1 + z 2
2

. ¿Cuál es ellugar geométrico de los puntos

λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?

Solución:

Gráficamente el afijo del número complejo
z1 + z 2
2

=

x1 + x 2
2

+i

y1 + y2
2

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo z1 + z 2

•

Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta
λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )

es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .

2

Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

z 3 − z1
z 2 − z1
z1 − z 2
z 3 − z2

=

z 3 − z1 e
z 2 − z1 e

=

z1 − z 2 e

i arg(z 3 −z1 )
i arg(z 2 −z1 )

=e

π

i arg(z1 −z 2 )

z 3 − z2 e

i arg( z 3 −z1 )

=e

3

π

ya que

arg ( z 3 − z1 ) = arg ( z 2 − z1 ) +

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

π
3

3

i

i

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Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

π
= arg ( z1 − z 2 )
3

arg ( z 3 − z 2 ) +
Por lo tanto,
z 3 − z1
z 2 − z1

=

z1 − z 2
z 3 − z2

⇒ z 32 − z1z 3− z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒
⇒

z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

los tres diferentes verificando

entonces forman un

triángulo equilátero.

Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 .Los números son
ahora:
* *
{ 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z 2 , z 3 }

Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 se transforma en
z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2
despejando
*2
* *
*2
z 3 − z2 z 3 + z 2 = 0

*
⇒ z3 =

⇒
resolvemos
la ecuación
de segundo
*
grado en z 3

1 *
z2 ±
2

(

*
*
Esto significa que z 3 es z 2 girado

π
3

*
3i z 2

31 *
*2
*2
z 2 + z 2 − 4z 2
2

(

)

⇒



1
*
* 1
⇒ z3 = z2  ±
3i 



2 2




radianes (60 grados) y como

*
{ 0, z 2*, z 3 }
{ z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z 2, z 3 } .

*
*
que z 3 = z 2 . Por lo tanto,

)

*
z3 =

1 1
±
3 i = 1 se tiene
2 2

forman un triángulo equilátero lo que significa que

Un triangulo equilátero tienesu centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vértices.

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

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Ejercicios: Números Complejos

Fundamentos Matemáticos I

Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de
avanzar

π
radianes, luego hay que
3

π π
2π
+ =
. Por lo tanto, como uno de los vérticeses z1 = 1 = e 2πi , se tiene que
2
3
3
z 2 = e 2πie
z 3 = e 2πie

2 πi

2 πi

3e

3

2 πi

=e

3

2 πi

=e

3

4 πi

= cos

3

2π
2π
−1
3
+ isen
=
+
i
3
3
2
2

= cos

4π
4π
−1
3
+ isen
=
−
i
3
3
2
3

son los otros dos. En forma binómica


3   −1
3


, 


(1, 0),  −1 ,
  2 ,−

 2 2 


2 


Otraforma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman
un triángulo equilátero entonces
z1 = z 2 = z 3

y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es el mismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y

0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,
3

1 =e

2k π
i
3

k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z 2 = e

2π...