Numeros Complejos

IV. NÚMEROS COMPLEJOS

4.1. Números Complejos Los números complejos describen la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, y se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (particularmente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica ylas telecomunicaciones. Esta utilización generalizada se debe a su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/archivos/Complejos.pdf

4.1.1. Definición Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra £ al conjunto de los pares de números reales (a,b). Definiremos cada complejo z como unpar ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:


Suma



Producto por escalar



Multiplicación



Igualdad

Carmen Lizeth Cruz Renteria

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:


Resta



División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo(que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 . http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Definici.C3.B3n 4.1.2. Conjugado de un número complejo Si z = x + yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z = x - yi , es decir, al número complejo quetiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto. Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados. El conjugado de un complejo z (denotado como ó complejo, definido así: ) es un nuevo número

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen laspropiedades:



Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares

Ejemplo. Si z = 3+ 2i , entonces z = 3- 2i y si z = 3- 2i , entonces z = 3+ 2i . http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Conjugado_de_un_n.C3 .BAmero_complejo

4.1.3.Imaginario Puro, Real Puro Son expresiones matemáticas de la formax+yi donde x y y son numeros reales y i no es un numero real y es un simbolo que cumple i2 = �1. A x se le llama la parte real y a y (sin el i) se le llama la parte imaginaria del numero complejo x + y i. Si x = 0 se dice que x + y i = y i es un numero imaginario puro y si y = 0 se dice que x + y i = x es un numero real puro. http://cb.mty.itesm.mx/materias/ma2006/materiales/ma2006-09.pdf

4.2.Números Complejos en notación Cartesiana Notación en Forma Cartesiana z=a+bi Donde a y b son números reales i = √ -1 que es la unidad imaginaria. “a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria La parte imaginaria presenta explícitamente el signo positivo o negativo, según sea el caso. Este signo no indica la operación de suma o resta.
Carmen Lizeth Cruz Renteria

Ejemplo z1 = 4 + 3i

z2 = -2 +2 i

z3 = -2 -8 i z4 = 2 –3 i



4.2.1. Representación Cartesiana L o s n úm e ro s comp le jo s se re p re sen t a n en un o s e jes ca rt e sia no s. E l e je X se l la m a e je re al y e l Y, e je im a gin a rio . E l n úm e ro co mp le jo a + b i se re p re sen t a : 1 P o r e l p u nt o (a, b ), qu e se llam a su af ijo ,

z

2 Me d ian t e u n ve ct o r d e o rige n (0 , 0 ) y ext re m o (a , b ).



L o s af ijo s d e lo s nú m e ro s re a le s se sit ú a n so b re e l e je re a l, X. Y lo s im a gin a rio s so b re e l e je im a gin a rio , Y.

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4.2.2. Suma L a sum a de n úme ro s co mp le jo s se re a liza su m a ndo p a rt e s rea le s en t re sí y p a rt e s im a gin a ria s en t re sí. ( a +...