Numeros complejos

PROBLEMARIO DE ALGEBRA SUPERIOR
TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS
1 Exprese los números siguientes en términos de i.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)

2 Represente lasoperaciones indicadas algebraica y gráficamente:
a) (2 + 6i) + (5 + 3i),
b) (−4 + 2i) (3 + 5i).
Figura 1

Figura 2

SOLUCIÓN
a) Algebraicamente: (2 + 6i) + (5 + 3i) = 7 + 9i
Gráficamente:Represente los dos números complejos por medio de los puntos P1 y P2 respectivamente como se muestra en la figura 1. Conecte dichos puntos con el origen O y complete el paralelogramo que tiene como ladosadyacentes OP1 y OP2. El vértice P (punto 7 + 9i) representa la suma de los dos números complejos dados.
b) Algebraicamente: (−4 + 2i) − (3 + 5i) = −7 − 3i
Gráficamente: (−4 + 2i) − (3 + 5i) = (−4 +2i) + (−3 − 5i). Ahora se procede a sumar (−4 + 2i) con (− 3 − 5i).
Represente los dos números complejos (−4 + 2i) y (−3 − 5i) por medio de los puntos P1 y P2 respectivamente, como se muestra en lafigura 2. Una los puntos P1 y P2 con el origen O y complete el paralelogramo que tiene a OP1 y OP2 como lados adyacentes. El vértice P (punto −7 − 3i) representa la resta (−4 + 2i) − (3 + 5i).
3Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.
a) (5 − 2i) + (6 + 3i) = 11 + i
b) (6 + 3i) − (4 − 2i) = 6 + 3i − 4 + 2i = 2 + 5i
c) (5 − 3i) − (−2 + 5i) = 5 − 3i + 2− 5i = 7 − 8i
d)
e) (a + bi) +(a −bi) = 2a
f) (a +bi) − (a −bi) =a +bi −a + bi = 2bi
g)

4 a)
b)
c) (4i)(−3 i) = −12 i2 = 12
d) (6i)2 = 36i2 = −36
e)
f) 3i(i + 2) = 3i2 + 6i = −3 + 6i
g) (3 − 2i)(4 + i) = 3 · 4 + 3 ·i− (2i)4 − (2i)i = 12 + 3i −8i + 2 = 14 − 5i
h) (5 − 3i)(i + 2) = 5i + 10 − 3i2 − 6i = 5i + 10 + 3 − 6i = 13 − i
i) (5 + 3i)2 = 52 + 2(5)3i + (3i)2 = 25 + 30i + 9i2 = 16 + 30i
j)
k)
l) (1 +i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3 i − 3 − i = −2 + 2 i
m)
n)
o) (1 + 2i)4 = [(1 + 2i)2 ]2 = (1 + 4i + 4i2)2 = (−3 + 4i)2 = 9 − 24i + 16i2 = −7 − 24i
p) (− 1 + i)8 = [(−1 + i)2]4= (1 − 2i + i2)4=...