Numeros complejos

Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 1
Ejercicio 1
Escribir en forma bin´mica los siguientes n´meros complejos:
o
u

n

1+i
√
2

n ∈ Z;

i ,

Soluci´n 1
o

 1


i
n
• i =
−1



−i

si
si
si
si

•

n

n ∈ N;

,

n≡0
n≡1
n≡2
n≡3

√

4

3−i

1+i
1−i

5

;

√
(1+i 3)20 ;

e1/z

(mod 4)
(mod 4)
(mod 4)
(mod4)
n

1+i
√
2

n

π

= ei 4

• Por un lado

π
π
= cos( n) + i sen( n)
4
4

1+i
(1 + i)(1 + i)
=
=i
1−i
(1 − i)(1 + i)

Por otro,
√

4

3−i

−π
−π
= 2 cos
+ i sen
6
6

4

= 16 cos

−2π
−2π
+ i sen
3
3

Con lo cual
√

4

3−i

√ 20
π
• 1+i 3
= 2ei 3
√
219 (−1 + i 3)

1+i
1−i
20

5

√
√
= −8 − 8i 3 i = 8 3 − 8i.

= 220 ei20π
3

2π

= 220 ei 3 = 220 (cos 2π + i sen 2π ) =
3
3

• Haciendo x = Re z, y = Im z
1

x

e z = e x2 +y2

−i

y
x2 +y 2

x

= e x2 +y2 cos

x

= e x2 +y2

cos

x
y
− ie x2 +y2
x2 + y 2

1

−y
−y
+ i sen 2
x2 + y 2
x + y2
y
sen 2
x + y2

√
= −8−8i 3

Ejercicio 2
Calcular el m´dulo y el argumento principal de los siguientes n´meros
o
ucomplejos:
i
−2
(1 + i)4
√
√ ,
,
−2 − 2i
1 + 3i
2
Soluci´n 2
o
Al calcular el argumento principal, primero calculamos el argumento
m´dulo 2πZ.
o
•
π 3π
5π
i
= arg i − arg(−2 − 2i) = +
+ 2πZ =
+ 2πZ
−2 − 2i
2
4
4
−3π
i
Luego Arg
=
−2 − 2i
4
arg

√
i
|i|
1
2
=
=√ =
−2 − 2i
|−2 − 2i|
4
8
•
√
π
−2
2π
√
= arg(−2) − arg(1 + 3i) = π − + 2πZ =
+ 2πZ
3
3
1 +3i
−2
2π
√
Luego Arg
=
3
1 + 3i
arg

|−2|
−2
2
√
√
=
= =1
2
1 + 3i
1 + 3i
•
√
π
(1 + i)4
arg √
= 4 arg(1 + i) − arg( 2) = 4 − 0 + 2πZ = π + 2πZ
4
2
4
(1 + i)
Luego Arg √
= −π
2
√ 4
3
2
(1 + i)4
√
= √ = 22
2
2
2

Ejercicio 3
Describir el lugar geom´trico de los puntos z ∈ C que verifican:
e
1. |z − 2| > |z − 3|
2.

1
z

=z

3. |z − 1 + i| = 1
4.|z − 4i| + |z + 4i| = 10
5. Re(z − i) = 2
6. |2z − i| ≤ 4
7. z + z = |z|2
8. z − z = i
9. z 2 = z 2

Soluci´n 3
o
Escribamos x = Re z, y = Im z y llamemos d a la distancia eucl´
ıdea en
R2 .
1.
|z − 2| > |z − 3| ⇔ |z − 2|2 > |z − 3|2 ⇔ (x−2)2 +y 2 > (x−3)2 +y 2 ⇔ x >
Es el semiplano abierto x > 5 .
2
2.

1
= z ⇔ 1 = zz ⇔ |z| = 1
z
Es la circunferencia unidad.

3.
|z − 1 +i| = 1 ⇔ d(z, 1 − i) = 1
Circunferencia de centro (1, −1) y radio 1.
3

5
2

4.
|z − 4i| + |z + 4i| = 10 ⇔ d(z, 4i) + d(z, −4i) = 10
Se trata del lugar geom´trico de los puntos del plano cuya suma de
e
distancias a dos puntos fijos es constante. Esta es la definici´n cl´sica
o
a
de elipse. Luego se trata de la elipse de focos (0, 4), (0, −4) y semieje
mayor 10. De aqu´ se puedensacar las dem´s constantes de la elipse.
ı
a
Naturalmente, todo esto se puede hacer en coordenadas y al final nos
saldr´ una c´nica que se podr´ clasificar seg´n los criterios de ´lgebra
a
o
ıa
u
a
lineal.
5.
Re(z − i) = 2 ⇔ x = 2
Recta vertical x = 2.
6.
|2z − i| ≤ 4 ⇔ z −

i
i
≤ 2 ⇔ d(z, ) ≤ 2
2
2

Disco cerrado de centro (0, 1 ) y radio 2.
2
7.
z + z = |z|2 ⇔ 2x = x2 + y 2 ⇔(x − 1)2 + y 2 = 1
Circunferencia de centro (1, 0) y radio 1.
8.
z − z = i ⇔ 2iy = i ⇔ y =

1
2

Recta horizontal y = 1 .
2
9.
z 2 = z 2 ⇔ (x − iy)2 = (x + iy)2 ⇔ x2 −y 2 −2ixy = x2 −y 2 +2ixy ⇔ xy = 0
luego las soluciones son los ejes del plano complejo, es decir, el conjunto
{(0, y) : y ∈ R} ∪ {(x, 0) : x ∈ R} .

Ejercicio 4
Demostrar que |Re z| + |Im z| ≤

√

2 |z| paratodo z ∈ C.

4

Soluci´n 4
o
√ Hagamos x = Re z, y = Im z. Se trata de probar que |x| + |y| ≤
2 x2 + y 2 ∀x, y ∈ R. Veamos:
√
|x| + |y| ≤
2 x2 + y 2 ⇔ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2 ≤ 2x2 + 2y 2 ⇔
2 |x| |y| ≤ x2 + y 2 ⇔ (|x| − |y|)2 ≥ 0
y esto ultimo es cierto.
´
Ejercicio 5
Demostrar que si |z| < 1 entonces |Im(1 − z + z 2 )| < 3.
Soluci´n 5
o

Im(1 − z + z 2 ) ≤ 1 − z + z 2 ≤ 1 + |z|...