Numeros Complejos

Conjunto de los números complejos

CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
SUMARIO:
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
PARTE TEÓRICA DEL TEMA:
9.1.- Definición.
9.2.- Suma y producto.
9.3.- Partes real e imaginaria.
9.4.- Forma binómica.
9.5.- Potencias de la unidad imaginaria.
9.6.- Suma y producto en forma binómica.
9.7.- Complejos conjugados.
9.8.- Cociente en formabinómica.
9.9.- Módulo y argumento de un número complejo.
9.10.- Interpretación geométrica.
9.11.- Formas trigonométrica y polar.
9.12.- Forma exponencial.
9.13.- Producto y cociente en forma exponencial.
9.14.- Potencia de un número complejo. Fórmula de Moivre.
9.15.- Raíces de un número complejo.
9.16.- Logaritmo neperiano de un número complejo.

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.;Quintana, M.P.; Suárez, A.

9.17.- Potencias de base y exponente complejo.
9.18.- Fórmulas de Euler.
PROBLEMAS RESUELTOS

INTRODUCCIÓN
En el cuerpo R de los reales hay operaciones que no tienen solución. Por
ejemplo, no existe ningún número real que verifique la ecuación

x 2 + 1 = 0 . Se hace necesario, entonces, definir un nuevo conjunto de

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MATEMÁTICA I

Conjunto de losnúmeros complejos

números y se introduce un nuevo elemento, la unidad imaginaria i ,
dando origen al cuerpo de los números complejos.
Construiremos el nuevo conjunto definiendo una relación binaria en R 2
y obteniendo el conjunto cociente. Veremos que existe un isomorfismo
entre R y el subconjunto de C formado por los pares (r , 0) , con lo que
R quedará incluido en C .

Definiremosanalíticamente los conceptos de módulo y argumento y
estudiaremos las diferentes operaciones para las distintas formas de
expresar un número complejo.
Haremos una interpretación geométrica asignando a cada complejo un
vector definido por el módulo y el argumento del mismo, comprobando
que el módulo y argumento de la suma se corresponden, respectivamente,
con los del vector suma representativo.Asimismo, destacaremos que el
producto de un complejo por otro de módulo 1 y argumento θ equivale a
un giro de θ radianes del vector correspondiente.
Estas propiedades hacen de este conjunto y sus operaciones una
herramienta muy eficaz en muchos campos. En concreto en Física y
Circuitos eléctricos las impedancias de los circuitos de corriente alterna
se expresan en forma compleja para facilitar larepresentación de la
diferencia de fase que se presenta entre la intensidad y la tensión de las
diferentes

ramas

del

circuito,

dependiendo

de

los

elementos

(condensadores, bobinas, resistencias) que contengan.
Además, el cálculo con números complejos es de aplicación directa en la
resolución de ecuaciones, en la determinación de primitivas de funciones
racionales o entemas más avanzados como es el estudio de Variable
Compleja que el alumno ha de tratar en otras asignaturas de Matemáticas.

MATEMÁTICAS I

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Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

• Plantear la necesidad de ampliar sucesivamente los conjuntos
numéricos de los números naturales, enteros, racionales y reales para
definir el conjunto de los númeroscomplejos.

• Introducir el concepto de unidad imaginaria. Manejar las distintas
formas de escribir un mismo número complejo con las respectivas
conversiones de unas en otras.

•

Saber realizar las operaciones de suma, producto, cociente,

potenciación, radicación y cálculo de logaritmos con estos números, no
solo para su utilización en otros temas de matemáticas, sino para suaplicación directa en asignaturas como Física o Teoría de Circuitos.

• Saber interpretar geométricamente los números complejos y sus
operaciones.

• Resaltar el carácter vectorial que se puede asignar a los números
complejos.

9.1. DEFINICIÓN
Se define un número complejo como un par ordenado de números reales.
C = {( a, b ) /a, b ∈ R} .

La relación de igualdad en este conjunto es tal...