Numeros complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

El resolver una ecuación de segundo grado, como por ejemplo, x2 + 1 = 0, puede llevarnos a encontrar expresiones que involucran raices cuadradas de números negativos.

Estas raices cuadradas de números negativos fueron usadas por Jerónimo Cardano (1501-1576) en algunos métodos para la resolución de las ecuaciones de tercer grado, lo cual dio lugar a que las raícescuadradas de los números tuvieran alguna “utilidad”
A estos números se les llamó números imaginarios.

Casi un siglo tuvo que pasar para que se hiciese un estudio completo de los mismos, llegándose a lo que hoy se llama el campo de los números complejos.

El teorema más importante que existe sobre los números complejos es el «Teorema Fundamental del Álgebra», demostrado por Carl FriederichGauss (1777-1855) que dice que cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz compleja.

Volviendo al la ecuación x2 + 1 = 0, al despejar x obtendríamos x = [pic]

Esta expresión tendrá un nombre especial

Definición (número i) En este contexto, al número [pic] le llamaremos unidad imaginaria
Y esta unidad imaginaria se denotará por i, esto es i =[pic]

De estemodo, por propiedades de los números podremos representar algunos números con raíz imaginaria como sigue:
[pic]= [pic]= [pic][pic]= 2i
[pic]= [pic]= [pic][pic]= 3i

La primer propiedad del número i es la siguiente:
i2 = ([pic])2 = -1
Con esta relación, podemos calcular otras potencias de i, esto es:
i2 = -1
i3 = i2 i = (-1) i = - i
i4 = i2 i2 = (-1) (-1) = 1
i6 = i4 i =(1) (i) = i
i6 = i4 i2 = (1) (-1) = -1,...etc

Con el uso de la unidad imaginaria, podemos encontrar ciertos tipos de números como veremos a continuación:

Ejemplo
Al resolver la ecuación x2 + 2x + 3, por le método general obtenemos
x = -3 ([pic] = -3 ( 5i
Esto es, las soluciones de la ecuación son los números -3 + 5i y -3 – 5i
Los números encontrados tienen la forma generala + bi, donde a y b son números reales.

Estos números reciben un nombre especial

Definición (números complejos): A un número de la forma a + bi, con a y b números reales, i =[pic], se le llama número complejo
El número “a” se llama parte real del complejo a + bi
El número “b” se llama parte imaginaria del complejo a + bi

A partir de esta definición podemos decir que: -1+i, 2 +3i, 2i. 4, -3 -2i, [pic]- i
Son todos ellos números complejos

Entre los ejemplos citados se encuentran el número 2i y el número 4

El primero se llama número complejo puro

El segundo se llama número real puro

Por tanto, en general, se escribirá a en lugar de a + 0i y también bi en lugar de escribir 0 + bi.

Se puede considerar que los números reales son los númeroscomplejos cuya parte imaginaria es 0.
Así los números 0, 2, -3, 5. 0.5, (, [pic] son números reales que se pueden considerar números complejos con su parte imaginaria igual a cero

El conjunto de números complejos se denotará por C, donde C = { a + bi | a, b( R}

Representación geométrica de los complejos

Sabemos que las parejas ordenadas (-1,2), (2,3), (0,0), etc. se consideran puntosen el plano R2.

Los números complejos tienen una doble notación.

Por un lado, los complejos en general se denotan como a + bi
Por otro lado, estos mismos complejos se denotan como (a,b),
De esta forma, complejos como 2+3i, -1 +2i, 3i, 4, -1-i, etc. también se denotarán como las parejas ordenadas (2, 3), (-1, 2), (0, 3), (4, 0), (-1-1)

La notación de un complejo, a + bi, comouna pareja ordenada permitirá “visualizar” a los números complejos como vectores cuyo origen es (0,0) y punto final es la pareja (a,b)

Así, los complejos 2+3i, -1 +2i, 3i, 4, -1-i se representan en el plano como los vectores (2, 3), (-1, 2), (0, 3), (4, 0), (-1-1)
[pic]

Módulo o norma de un complejo

Los números complejos generalmente se denotan con la letra z.

Como se vio...