numeros primos

Soluciones del examen de Conjuntos y N´
umeros del 18 de enero de 2012
1) a) Escribiendo 6k − 1 = 6(k − 1) + 5, el enunciado es equivalente a probar que cualquier
entero positivo 6n + 5 tiene unfactor primo de la forma 6m + 5.
Sea p un factor primo de 6n + 5 y sea a su resto al dividir por 6, es decir p ≡ a (m´od 6).
No puede ser a = 0 (porque no hay primos divisibles por 6) ni a = 2, 4porque el u
´nico primo
par, p = 2, no divide a 6n + 5. De la misma forma, a = 3 tambi´en es imposible porque p = 3 es
el u
´nico primo m´
ultiplo de 3 y no divide a 6n + 5. Las u
´nicasposibilidades son entonces p ≡ 1
(m´od 6) y p ≡ 5 (m´od 6).
Si todos los factores primos de 6n + 5 cumplieran p ≡ 1 (m´od 6), entonces el propio 6n + 5,
que es producto de ellos, tambi´en lo cumplir´ıa, locual es absurdo porque 6n + 5 ≡ 5 (m´od 6).
b) Los n´
umeros 2, 3, 4, . . . , n dividen a 6n! y por tanto no pueden dividir a 6n!−1. Entonces
todo factor primo es mayor que n y por a) sabemos quealguno de ellos es de la forma 6m − 1.
2) Recordemos que una funci´on se dice que es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva,
y esto equivale a que tenga inversa.
a) Comprobamos las trespropiedades.
Reflexiva: ARA se cumple porque la funci´on identidad Id : A −→ A, Id(x) = x es una
biyecci´on (obvio).
f −1 : B −→ A
Sim´etrica: ARB ⇒ ARB porque si f (: A −→
) B es biyectiva, entonces−1
−1
−1
tambi´en lo es (f
es sobre porque x = f
f (x) y es inyectiva porque f (x) = f −1 (y) ⇒
x = y, aplicando f ).
Transitiva: ARB ∧ BRC ⇒ ARC porque si f : A −→ B y g : B −→ C son biyectivas,entonces g ◦ f : A −→ C tambi´en lo es (ya que tiene inversa (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 ).
b) Por definici´on, estar´an relacionados los subconjuntos no vac´ıos de N que tienen el mismo
cardinal. Siun subconjunto de N es infinito necesariamente es biyectivo a N (esto se sigue
ordenando sus elementos y asignado al primero el 0, al segundo el 1 y as´ı sucesivamente). Por
otro lado, si un...