Numeros Reales

Cap´
ıtulo 3

N´ meros reales
u
El campo de los n´meros reales se puede definir suponiendo que se tiene los n´meros racionales
u
u
y definiendo un n´mero real en t´rminos de n´meros racionales. Este fue el m´todo usado por
u
e
u
e
Richard Dedekind. Por otra lado, se puede definir el sistema de los n´meros reales por un conjunto
u
de axiomas y posteriormente demostrar que los n´merosracionales pueden considerarse como un
u
subconjunto de los n´meros reales. Este es el m´todo que se usar´ en estas notas.
u
e
a

3.1.

Axiomas de los n´ meros reales
u

El campo de los n´meros reales es un conjunto R y dos operaciones, adici´n y multiplicaci´n
u
o
o
que satisfacen los siguientes axiomas:
1. Cerradura. Si a, b ∈ R, entonces a + b ∈ R y a · b ∈ R.
2. Conmutativa.Si a, b ∈ R entonces a + b = b + a y a · b = b · a.
3. Asociativa. Si a, b, c ∈ R entonces (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c).
4. Existencia de neutros
a) ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R llamado neutro aditivo, tal que a + 0 = a.
b) ∀ a ∈ R, ∃ 1 ̸= 0 ∈ R, llamado neutro multiplicativo, tal que a · 1 = a.
5. Existencia de inversos
o
a) Para cada a ∈ R existe un y s´lo un elemento, alque denotaremos por −a, llamado
inverso aditivo de a, tal que a + (−a) = 0.
1

´
CAP´
ITULO 3. NUMEROS REALES

2

b) Para cada a ∈ R, a ̸= 0 existe un y s´lo un elemento, al que denotaremos por a−1 ,
o
llamado inverso multiplicativo, tal que a · a−1 = 1.
6. Propiedad distributiva. Para todo a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c.
La operaci´n de adici´n asocia con cualesquiera dosn´meros a, b de R un elemento unico de
o
o
u
´
R que se llamar´ a + b. Similarmente, la operaci´n de multiplicaci´n asocia con cualesquiera a,
a
o
o
b ∈ R, un elemento unico de R al que llamaremos a · b o a b. La propiedad distributiva dice como
´
se combinan las dos operaciones antes definidas en el campo de los n´meros reales.
u
A continuaci´n enunciaremos algunos teoremas sobrelos n´meros reales. No est´ en el objetivo
o
u
a
de estas notas demostrarlos, eso se har´ en el curso de c´lculo diferencial, pero esto no impedir´ su
a
a
a
uso.
Teorema 3.1. Para toda a ∈ R, a · 0 = 0 = 0 · a.
Teorema 3.2. Para toda a ∈ R, −a = (−1) · a.
Corolario 3.3. Para a y b en R arbitrarios, a(−b) = −ab = (−a)b.
Teorema 3.4. Para toda a ∈ R, −(−a) = a.
Teorema 3.5. Para toda a yb ∈ R, (−a)(−b) = ab.
Teorema 3.6. Dados a y b ∈ R, si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Hay otras dos operaciones sobre el campo de los n´meros reales que no est´n incluidas expl´
u
a
ıcitamente en los postulados, a saber, la resta y la divisi´n. Estas operaciones est´n definidas como
o
a
sigue:
Definici´n 3.7. Para cada a y b ∈ R, a − b = a + (−b).
o
Definici´n 3.8. Para cada a y b ∈R, con b ̸= 0,
o
a
= ab−1
b
N´tese que 0 no tiene inverso multiplicativo, y por lo tanto, la divisi´n por cero no est´ definida.
o
o
a
La hip´tesis de que 0 tuviera inverso multiplicativo no ser´ consistente con los otros postulados.
o
ıa
Pues si 0 tuviese un inverso multiplicativo, ll´mese, a, entonces a·0 = 1. Esto estar´ en contradicci´n
a
ıa
o
con el teorema 1.1, y por lotanto, habr´ inconsistencia en los postulados que se usan para demostrar
ıa
el teorema 1.1. Es por esto que la divisi´n entre cero no puede definirse.
o
e
Ejemplo 3.9. Demu´strese que para a, b, c, d ∈ R se tiene
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Soluci´n. Mediante la aplicaci´n del la ley distributiva, se tiene
o
o
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.

3.2.EXPONENTES Y RADICALES

3.2.

3

Exponentes y radicales

√
√
Hasta este punto no se puede demostrar que n´meros irracionales tales como 2 o 7 son
u
n´meros reales sin usar el axioma del supremo. En el curso de c´lculo se probar´ que tales n´meros
u
a
a
u
son n´meros reales. Entre tanto, se vera en esta secci´n el significado de expresiones de la forma am
u
o
en donde a ∈ R, m ∈ Q, las...