Numeros Reales

Unidade 2: Os números reais
1. Os números
1.1. A necesidade de contar: Os números naturais.
1.2. As medidas: Números racionais.
1.3. Os reais.
2. Representación gráfica dos números reais: A recta real.
3. Algúns números reais destacados.
4. Notacións decimal e científica.
5. Operacións con números reais: As potencias
6. Aproximacións e erros.

Introdución
A invención dos números
Ainvención dos números e os sistemas de numeración foi un proceso que se desenvolveu
paralelamente á invención da linguaxe. Moi probablemente, os primeiros homes empezaron
por inventar “nomes” para as cousas e animais que necesitaban ou que temían, tal como
sigue acontecendo cos nenos ó empezar a falar.
Os conceptos abstractos, coma os números, tiveron que ser froito dun proceso moito máiscomplexo. Do que acontece coas culturas primitivas que sobreviven na actualidade,
podemos deducir que os números empezaron como partículas que se engadían ós
substantivos para indicar de cantos se trataba (algo semellante a bicicleta, triángulo).

Os naturais
Só moito máis adiante os nosos antecesores deberon ser capaces de separar o que tiñan en
común todos os grupos de obxectos concretos quedesignaría como bi-..... (bi-cabalos, biarbres, bi-leóns, bi-homes, ....) e manexar a idea abstracta de número (o número dous,
neste caso) inventando unha palabra para nomealo. Se
cadra foi así como naceron os números naturais.

=

Os racionais
Co desenvolvemento da cultura e do comercio, os números
naturais xa non podían cubrir tódalas necesidades: se tres
ferrados de millo intercámbiansepor dúas lanzas de
pedernal, ¿a canto millo equivale unha lanza?; ¿como facer
se o ancho dunha leira mide máis de dúas varas e menos
de tres?; e moitas outras situacións. O ser humano tivo que
inventar as fraccións e aprender a facer operacións con
elas.

=?

Unidade 1: Números reais

1

Os irracionais
Na Grecia Clásica dábaselle un enorme valor ós números naturais. Eran sinxelos demanexar e comprender pero, a pesares da súa simplicidade, tódalas cantidades e medidas
podían representarse con números naturais ou cocientes de números naturais –fraccións(ou iso era o que eles pensaron durante algún tempo). Chegaron a construír unha especie
de mística ó redor deses números.
As cousas cambiaron cando descubriron que algúns números como o
número áureo ou a medida da diagonaldun cadrado de lado 1 non
podían poñerse en forma de cocientes de números naturais. Eran os
irracionais.
O descubrimento dos irracionais ocasionou unha enorme frustración
que desencadeou que o interese “filosófico” dos gregos polas
Matemáticas se dirixise á Xeometría, quedando relegada a Aritmética
ós asuntos da vida cotiá.

A estrela de 5 puntas era o
emblema dos pitagóricos e osímbolo da perfección.
A relación entre o seu lado
e o do pentágono é o
número áureo:

f=

Os negativos e o 0

5 +1
= 1'61803...
2

Aínda que se podían idear operacións que daban como resultado 0 ou algún valor negativo,
tales números non se consideraban como realmente existentes, senón unicamente artificios
técnicos. Coa chegada dos árabes, que trouxeron a Occidente os coñecementos daChina e
da India, introdúcense os negativos e o 0.

2

Unidade 1: Números reais

Números reais
Números racionais son os que poden poñerse como cocientes
de números enteiros. O seu desenvolvemento decimal é finito
ou periódico:

7
= 1'75
4

-

)
1
= -0'3333... = -0'3
3

Quizais o número non racional máis doado de representar sexa
o que expresa a medida da diagonal dun cadradode lado 1:
Polo Teorema de Pitágoras:

d = 12 + 12 = 2

Escribindo o desenvolvemento decimal dese número resulta:
2 = 1¢ 4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7...

Ese desenvolvemento decimal non remata e as súas cifras
non se repiten de xeito periódico. 2 non é un número
racional, pois non pode expresarse como cociente de números
enteiros pero, por outra banda, parece claro...