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Aplicaciones de la derivada.
Optimización I.
Extremos absolutos de una función f definida en un intervalo cerrado. Son
muchos los problemas cuyo comportamiento obedece a una función real definida enun intervalo cerrado, digamos a ≤ x ≤ b, e interesa conocer el valor óptimo. Para
estudiar este aspecto se enuncian las siguientes definiciones.

1. Si f (x) ≤ f (c) para todo x en el dominio de f ,entonces f (c) es un valor
máximo absoluto de f

2. Si f (x) ≥ f (c) para todo x en el dominio de f , entonces f (c) es un valor
mínimo absoluto de f

O.G.J. 15 de febrero de 2012– p. 1/

Ejemplográfico 1.

f (x) = 4x − x2 ;
Valor mínimo f(4)=0;

1≤x≤4

Valor máximo f (2) = 4

O.G.J. 15 de febrero de 2012– p. 2/

Ejemplo gráfico 2.
f (x) = x3 − 3x2
−0,5 ≤ x ≤ 2,5
Valor mínimo f(2)= -4
Valormáximo f (0) = 0

O.G.J. 15 de febrero de 2012– p. 3/

Ejemplo gráfico 3.


 −x2 + 1, −2 ≤ x ≤ 0;
f (x) =
 1,
0 < x ≤ 5.
x
−0,5 ≤ x ≤ 2,5

Valor mínimo: f(-2)= -3
Valor máximo: no tiene

O.G.J. 15 defebrero de 2012– p. 4/

Extremos absolutos en un intervalo cerrado.
Una función continua definida en un intervalo arbitrario no siempre tiene un máximo o
un mínimo absoluto, sin embargo, si la funciónes continua sobre un intervalo cerrado
se garantiza la existencia del máximo y del mínimo.
Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado.
Teorema. Si una función f es continua en unintervalo cerrado [a, b], entonces f tiene
un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en [a, b].
Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función f en un
intervalo cerrado [a,b].
1. Se determinan los puntos críticos de f en el intervalo abierto (a, b).
2. Se calcula el valor de f en cada punto crítico hallado en el paso 1, y se calcula
los valores de f (a) y f (b).
3. Elvalor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de f corresponderán a los
números mayor y menor, respectivamente, de los encontrados en el paso 2.

O.G.J. 15 de febrero de 2012– p. 5/

Ejercicio....