optimizacion ejercicios

1

Problemas de optimización

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicio 1
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros,
viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión:

R(x) = - 0,001x2 + 0,4x + 3,5
Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan.
¿Qué rentabilidad se obtuvo en el casoanterior?

Solución:
Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:
R'(x) = - 0,002x + 0,4

0,4
= 200
0,002

R'(x) = 0 ⇒ - 0,002x + 0,4 = 0 ⇒ x =

R''(x) = - 0,002 < 0 , por tanto x = 200 € es un máximo de la función R(x)
2
,
La rentabilidad que se obtiene es R(200) = - 0,001(200) + 0,4 ⋅ 200 + 3,5 = 43 5 €

Ejercicio 2
Determinar las dimensiones delrectángulo de área máxima inscrito en un círculo de
radio ½

Solución:
Sean x e y las dimensiones del rectángulo.
El área es A = x ⋅ y
Además, x e y son los catetos de un triángulo
rectángulo de hipotenusa 1:

x2 + y 2 = 1 ⇒ y =

1 − x2 sustituyendo en A:

f x) = x ⋅
(

x 2 − x4

1 − x2 =

Por tanto, debemos maximizar esta función:

f (x) =
'

2x − 4x3
2⋅

f (x) = 0 ⇒
'

x 2− x4

1 − 2x 2
1 − x

2

=

(

2x ⋅ 1 − 2x2
2x ⋅

)

1 − x2

=

1 − 2x 2
1 − x2

= 0 ⇒ 1 − 2x 2 = 0 ⇒ x = ±

1
2
= ±
2
2

De los dos valores obtenidos, descartamos el negativo por no tener sentido en este
problema.
Comprobemos si x =

2
es máximo:
2

2

Problemas de optimización

(

− 4x ⋅

)

1 − x 2 − 1 − 2x 2 ⋅

f (x) =
''

1 − x

1 − x2)

(

)

(

1 − x2
1 − x2

=
=

2⋅

− 4x ⋅

=

(

1 − x2 + ⋅

=

2

− 4x ⋅ 1 − 2x2 + x ⋅ 1 − 2x 2

− 2x

1 − x

)

(

− 4x ⋅ 1 − x 2 + x ⋅ 1 − 2x 2

(1 − x2 ) ⋅

)

=

1 − x2

(

x ⋅ 1 − 2x2
1 − x2

2

)
=

− 4x + 4x3 + x − 2x3

(1 − x2 ) ⋅

1 − x2

2x3 − 3x

(1 − x2 )3
3


f'' 



 2

2
 2 
2


 =2 


1 −




 2
 2
2 2


2
− 3
− 3
 2 
 2 
8

 =

 =
3
2 3

 2
 2 
1 −   


4 

 2  

 


En cuyo caso, y =

1 − x

2

=

 2

1 − 
 2 



2
3 2
−
2
2 < 0 ⇒
3
1
 
 2

2 es máximo
2

2

=

1 −

2
=
4

1 −

1
=
2

Las dimensiones se corresponden con unCUADRADO de lado

1
=
2

2
2

2
2

Ejercicio 3
Los costes de fabricación, C(x) en euros, de cierta variedad de salchichas, dependen
de la cantidad elaborada (x en kilos) de acuerdo con la siguiente expresión:

C(x) = 10 + 2x
El fabricante estima que el precio de venta en euros de cada kilogramo de salchichas
viene dado por:

P(x) = 20 -

6x 2
800

Obtener la función de ganancias¿Qué cantidad de salchichas interesa producir para maximizar ganancias?
Calcular en este caso, el precio de venta y la ganancia que se obtiene.

Solución:
Sea x el número de kilogramos de salchichas a fabricar
El precio de venta de un kilogramo de salchichas es P x) = 20 −
(

6x 2
800

En total obtendremos por la venta de x kilogramos: x ⋅ P x) = 20x −
(

6x3
800

La función deganancias es:
3

6x3 
 − (10 + 2x) = − 6x + 18x − 10
G x) = x ⋅ P x) − C x) =  20x −
(
(
(

800 
800



=

3

Problemas de optimización

G'(x) = −

18x 2
9x 2
+ 18 = −
+ 18
800
400
9x 2
9x 2
+ 18 = 0 ⇒ −
= −18 ⇒ 9x2 = 18 ⋅ 400 = 7200 ⇒
400
400

G'(x) = 0 ⇒ −
⇒ x2 =

7200
= 800 ⇒ x = ± 800 = ±20 2
9

De los dos valores obtenidos descartamos elnegativo
Vamos si el valor positivo es máximo:

G''(x) = −

18x
400

(

)

Claramente se aprecia que G'' 20 2 = −

18 ⋅ 20 2
< 0
400

x = 20 2 es un máximo, por lo que conviene fabricar 20 2 ≅ 28,28 Kg de salchichas
para obtener el máximo beneficio.
El precio de venta de un kilogramo de salchicha será:

(

)

P 20 2 = 20 −

(

6 ⋅ 20 2
800

)2

= 20 −

6 ⋅ 800...