Ejercicios Resueltos Optimizacion Dinamica

Ejercicio 1: Considere el siguiente problema se control óptimo:
Optimizar:
V[x(t)]=304x dt
sujeto a:
x=x+u
x0=5
u∈0;2
A. Halle las trayectorias dinámicas dex(t) y u(t)

Sea la hamiltoniana: H=x+λ(x+u) … (1)
PRINCIPIO DEL MÁXIMO:
a. Dado que H es lineal, con respecto a u, se plantea: ∂H∂u≠0
Se aprecian 2 situaciones
a.1. Si ∂H∂u>0 → λ>0 →u=2… (2)
a.2. Si ∂H∂u<0 → λ<0 →u=0 … (3)
b. x=∂H∂λ → x=x+u … (4)
c. λ=-∂H∂x → λ=-(1+λ)
Ordenando: λ+λ=-1
Resolviendo: λt=A0e-t-1 … (5)
CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD:
λ4=0 →A0e-4-1=0
A0=e4 … (6)
(6) en (5): λt=e4-t-1 … (7)
Observe que t∈ 0;4 → λ>0 … (8)
(8) en (2): Si λ>0∴u=2 … (9)
(9) en (4): x=x+u →x-x=2
Resolviendo: x=A1et-2
Por las condiciones:x0=5 →A1e0-2=5
A1=7
Finalmente:
* xt=A1et-2 → xt=7et-2
* ut=2
* λt=e4-t-1

B. Grafique x(t) , u(t)C. Halle el valor óptimo

V[x(t)]=304x dt → V=304(7et-2 )dt
V=3(367,1870502)

V=1101,561151

Ejercicio 3:
Considere el siguiente problema se control óptimo:
Optimizar:V=06-5y dt
sujeto a:
y=y+u
y0=8
Además:
u∈1;3
a) Construyendo la ha miltoniana:H=-5y+ﺩλ(y+u)…………….(1)
Por el principio del máximo MaxUH: t∈1;6; ῼ∈1;3
sabemos que existe una relación lineal entreH y u.
Por lo tanto aplicamos lo siguiente: ∂H∂u≠0…………………………………(2)
Existen dos opciones:
Si ∂H∂u>0→u=3; si∂H∂u<0→u=1

El problema esde solución de esquina: ∂H∂u=λ……………………………(5)
Aplicando (2) en (5): λ≠0
Si λ>0 ∂H∂u>0→u=3…………………………(3)
Si λ˂0 ∂H∂u<0→u=1………………………….(4)
b) Segunda condición o ecuación demovimiento de estado: y=∂H∂λ→y=y+u…..(6)

c) Tercera condición o ecuación de movimiento de coestado:
λ=-∂H∂y→λ=--5+λ→λ-λ=5………………(7)
Resolviendo: r-1=0r=1 ; λ=Aλ`=0...