Oscil·lacions

Oscil⋅lacions, Ones i Termodin`mica
a

=

0

1

x
dt 2
+ k
m x

Oscil.ladors harm`nics
o

simples (OHS)

1. Cin`matica i din`mica del MHS.
e
a
2. Sistema molla-massa.

2

3. P`ndols. OHS angulars.
e

d

4. Energia potencial el`stica.
a
5. Oscil.lacions al voltant d’un punt
d’equilibri estable.

6. M`tode de la conservaci´ de l’energia.
e
o
7. Problemes.Jaume Calaf Zayas (jaume.calaf@upc.edu).
UPC

Feb. 11

UPC-ETSEIAT, Departament de F´
ısica i Enginyeria Nuclear

Cap´
ıtol 1

Oscil.lacions harm`niques simples.
o
1.1
1.1.1

Cinem`tica i din`mica del MHS.
a
a
Cinem`tica del MHS.
a

Una part´
ıcula que es pot despla¸ar sobre l’eix 𝑂𝑋 fa un moviment harm`nic simple (MHS) si la
c
o
seva posici´ 𝑥 dep`n del temps 𝑡 en laforma
o
e
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

(1.1)

on 𝐴, 𝜔 i 𝜙 s´n les constants seg¨ents:
o
u
∙ 𝐴 ´s l’amplitud del moviment, essent −𝐴 ≤ 𝑥 ≤ +𝐴.
e
∙ 𝜔 ´s la pulsaci´ o freq¨`ncia angular del moviment. Es mesura en rad/s. L’angle (𝜔𝑡 + 𝜙)
e
o
ue
´s la fase del moviment; per tant,
e
∙ 𝜙 ´s la fase inicial.
e
Notem que
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙′ )

si

𝜙′ = 𝜙 + 𝜋/2

Derivant(1.1) trobem la velocitat i l’acceleraci´ de la part´
o
ıcula
𝑣(𝑡) =

𝜋
𝑑𝑥
= −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝜔𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙 + )
𝑑𝑡
2

(1.2)

𝑑𝑣
𝑑2 𝑥
= 2 = −𝜔 2 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝜔 2 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝜋) = −𝜔 2 𝑥
(1.3)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
El MHS ´s un cas particular de moviment oscil.latori peri`dic, ja que despr´s de cada per´ode
e
o
e
ı
´ a dir, en
𝑇 = 2𝜋/𝜔 la part´
ıcula torna a estar en la mateixaposici´ amb la mateixa velocitat. Es
o
qualsevol instant 𝑡 se satisf`
a
𝑥(𝑡 + 𝑇 ) = 𝑥(𝑡)
𝑎(𝑡) =

L’invers del per´
ıode s’anomena freq¨`ncia, que representarem per 𝑓 , i que es relaciona amb la
ue
freq¨`ncia angular 𝜔 a trav´s d’un factor 2𝜋
ue
e
𝜔
1
=𝑓 =
𝑇
2𝜋
1103

(1.4)

`
CAP´
ITOL 1. OSCIL.LACIONS HARMONIQUES SIMPLES.

1104

En un MHS la freq¨`ncia 𝑓 ´s el nombred’oscil.lacions —anar i tornar— que fa la part´
ue
e
ıcula per
unitat de temps. La freq¨`ncia es mesura en cicles/s, unitat que coneixem com a Hz, hertz.
ue
Com mostrem en la primera de les figures seg¨ents el MHS est` molt relacionat amb el moviment
u
a
circular uniforme (MCU). En efecte, l’expressi´ (1.1) ´s la coordenada 𝑥 d’una part´
o
e
ıcula que fa un
MCU de radi 𝐴 a la velocitatangular 𝜔. El vector posici´ d’aquesta part´
o
ıcula —anomenat fasor—
forma, en l’instant 𝑡, un angle 𝜔𝑡 + 𝜙 amb l’eix 𝑂𝑋.
Naturalment, la component 𝑦 del fasor tamb´ descriu un MHS sobre l’eix 𝑂𝑌 , per` amb un sinus en
e
o
lloc d’un cosinus. Les altres dues figures indiquen les relacions entre les components 𝑥 de la velocitat
𝒗 i l’acceleraci´ 𝒂 de la part´
o
ıcula que fa el MCU i lescorresponents de la que fa el MHS.

y
v
ω
r

y
A

r
ωt+φ
x

O

A

ωt+φ
vx

O

x

y
O

x
a
A

O

ωt+φ
ax

x

t

En la figura seg¨ent veiem el fasor representat dues vegades:
u
∙ en 𝑡 = 0, formant un angle 𝜙 amb l’eix 𝑂𝑋 i essent 𝑥0 la seva primera component;
∙ en un cert instant 𝑡, quan l’angle ´s 𝜔𝑡 + 𝜙 i la primera component ´s 𝑥.
e
e

`
`
1.1. CINEMATICAI DINAMICA DEL MHS.

x

y

+A x

φ

t=0

x0
x0

A
ω t+ φ 0

1105

t
t

0
t
T

ω

T= 2π
ω

-A

Exemple 1.1

Posici´, velocitat i acceleraci´ en un MHS.
o
o

D’una part´
ıcula que efectua un MHS sabem que en 𝑡1 = 16 s la seva posici´ respecte de l’origen, la seva velocitat
o
i la seva acceleraci´ s´n, respectivament
o o
𝑥1 = 9, 80 cm ,

𝑣1 = 132 cm/s ,𝑎1 = −4743, 2 cm/s2

Trobeu l’expressi´ de l’elongaci´ 𝑥 en funci´ del temps 𝑡.
o
o
o
Soluci´
o
La posici´ de la part´
o
ıcula queda determinada per la funci´
o
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

(1)

de la qual hem de calcular els tres par`metres que intervenen: 𝜔, 𝐴 i 𝜙, a partir de les tres dades 𝑥1 , 𝑣1 , 𝑎1 .
a
∙ C`lcul d’𝜔.
a
√

2

Com que 𝑎 = −𝜔 𝑥, veiem immediatament que...