osnell"

Funci´n Cuadr´tica*
o
a
Edward Parra Salazar
Colegio Madre del Divino Pastor
10-1
Una funci´n f : A → B, f (x) = ax2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c ∈ R, a = 0, se
o
llama una funci´n cuadr´tica. Las funciones cuadr´ticas, a diferencia de las funciones lineales, son funciones en
o
a
a
las que aparece la variable independiente (x) elevada al cuadrado, de ah´ elcalificativo cuadr´tica. La gr´fica
ı
a
a
de una funci´n cuadr´tica se denomina par´bola.
o
a
a
Dependiendo de los valores que puedan tomar a, b y c, la funci´n cuadr´tica puede variar su forma:
o
a
Cuando b = 0 y c = 0, la forma de la funci´n es y = ax2
o
Cuando solo b = 0, la forma de la funci´n es y = ax2 + c
o
Cuando solo c = 0, la forma de la funci´n es y = ax2 + bx
o
Recuerde quela gr´fica de la funci´n f : R → R, f (x) = x2 es:
a
o

Figura 1: Gr´fica de f (x) = x2
a
Sea g : R → R, g(x) = ax2 + bx + c una funci´n cuadr´tica. Observe que completando cuadrados tenemos:
o
a
b
c
y = ax2 + bx + c ⇒ y = a x2 + x +
a
a
= a x2 + 2 ·

b
b2
b2
c
x+ 2 − 2 +
2a
4a
4a
a

=a x+

2

b
2a

+

4ac − b2
4a

= aX 2 + B
con X = x +

b
4ac − b2
yB=
.2a
4a

As´ podemos ver que la gr´fica de cualquier funci´n cuadr´tica es el resultado de trasladar horizontalmente,
ı,
a
o
a
alargar o encoger y trasladar verticalmente.
*

Material preparado para Experiencia Docente en Matem´tica. eps2007.
a

1

Figura 2: Gr´fica de funci´n cuadr´tica: trasladada horizontalmente, verticalmente y encogida.
a
o
a

1.

Aspectos ImportantesSea f : A → B, f (x) = ax2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c ∈ R, a = 0.

1.1.

Concavidad
Si a > 0 → c´ncava hacia arriba.
o
Si a < 0 → c´ncava hacia abajo.
o

Figura 3: C´ncava hacia arriba y c´ncava hacia abajo
o
o

1.2.

Intersecciones con eje x

Para encontrar las intersecciones con eje x debemos resolver f (x) = 0, es decir, se resuelve
ax2 + bx + c = 0la cual sabemos que tiene como soluci´n
o
x=

−b ±

√

b2 − 4ac
2a

La cantidad de intersecciones depende del valor de discriminante: ∆ = b2 − 4ac
Si ∆ > 0: Corta en dos puntos al eje x
x1 =

−b +

√

√
b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
y x2 =
2a
2a
2

Si ∆ = 0: Corta en un punto al eje x
x1 =

−b
2a

Si ∆ < 0: Corta en ning´n punto al eje x
u
As´ las interseccionescorresponden a (x1 , 0) y (x2 , 0) ´ unicamente (x1 , 0).
ı,
o´

1.3.

Intersecciones con el eje y

Para encontrar la intersecci´n con el eje y basta calcular la imagen de 0, es decir, f (0).
o
As´ si f (x) = ax2 + bx + c entonces
ı,
f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c
Siempre es el punto (0, c)
Ejemplo 1.1 Grafique f (x) = x2 − 2x − 3
Soluci´n.
o
1. Como a = 1, sabemos que la par´bola esc´ncava hacia arriba.
a
o
2. La intersecci´n con el eje y es
o
f (0) = 02 − 2 · 0 − 3 = 3
i.e. la intersecci´n con el eje y es (0, −3)
o
3. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos f (x) = 0. Podemos verificar que ∆ > 0, por lo
tanto, corta al eje x en dos puntos.
f (x) = 0
x2 − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
es decir, x = −1 y x = 3.
Luego, las intersecciones con el eje xcorresponden a (−1, 0) y (3, 0).
De aqu´ podemos ver que la gr´fica de f (x) corresponde a
ı
a

Figura 4: Gr´fica de f (x) = x2 − 2x − 3
a

1.4.

Eje de Simetr´
ıa

Es la l´
ınea vertical que divide la par´bola a la mitad.
a
La ecuaci´n del eje de simetr´ est´ dada por:
o
ıa
a
x=

3

−b
2a

1.5.

V´rtice
e

Puede ser un punto m´ximo (cuando es c´ncava hacia abajo) opunto m´
a
o
ınimo (cuando es c´ncava hacia
o
arriba).
−b
−b
V =
,f
2a
2a
Otra forma:
V =

−b −∆
,
2a 4a

El v´rtice es el lugar donde el eje de simetr´ corta a la par´bola.
e
ıa
a

1.6.

´
Ambito
Si a > 0, el ´mbito es
a

−∆
, +∞
4a

Si a < 0, el ´mbito es −∞,
a

1.7.

−∆
4a

Intervalos de Monoton´
ıa

Para determinar los intervalos de monoton´ de...