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Tema 5

Integral Indefinida
5.1

Conceptos Generales

Definici´n. Se denomina primitiva de la funci´n f (x) en un intervalo (a, b) a toda
o
o
′ (x) = f (x).
funci´n F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F
o
Ejemplos:
La funci´n F (x) = x3 + 5 es una primitiva de la funci´n f (x) = 3x2 , para todo x ∈ R.
o
o
√
−x
La funci´n G(x) = √1−x2 es una primitiva de g(x) = 1 − x2 en elintervalo (−1, 1).
o
1
La funci´n H(x) = cos2 x es una primitiva de h(x) = tan x en el intervalo (− π , π ). (Nota:
o
2 2
tambi´n lo es en cada uno de los dem´s intervalos de definici´n de la funci´n tangente, pero no
e
a
o
o
de manera global en toda la recta real).

Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una funci´n dada f (x) son
o
las siguientes:
1) Si F (x) esuna primitiva de f (x) en (a, b), entonces la funci´n G(x) = F (x) + C,
o
con C ∈ R constante, tambi´n lo es en (a, b). La demostraci´n es evidente: G′ (x) =
e
o
′ (x) + 0 = f (x), ∀x ∈ (a, b).
F
2) Si F (x) y G(x) son primitivas de f (x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:
F (x) − G(x) = C, ∀x ∈ (a, b). La demostraci´n de esta propiedad requiere el uso del
o
1.
Teoremadel valor medio
Sea h(x) = F (x) − G(x), ∀x ∈ (a, b). Obviamente: h′ (x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Sea
[x1 , x2 ] ⊂ (a, b) cualquier subintervalo cerrado de (a, b). Aplicamos en [x1 , x2 ] el Teorema del Valor
medio, por ser h(x) continua en [x1 , x2 ] y derivable en (x1 , x2 ), existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que:
1

0 = h′ (c) =

h(x2 ) − h(x1 )
⇒ h(x1 ) = h(x2 )
x2 − x1

y enconsecuencia h(x) es una funci´n constante en (a, b).
o

43

44

´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7

Definici´n. Llamaremos integral indefinida de una funci´n f (x) en un intervalo (a, b)
o
o
al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con
∫
la notaci´n habitual:
o

f (x) dx. La funci´n f (x) recibe el nombre de integrando.
o

Las dospropiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f (x) en
(a, b), F (x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ tendremos:
ı
∫
f (x) dx = F (x) + C
para cualquier constante real C. (Nota: es habitual no especificar el intervalo en el que
se definen las primitivas, se sobreentiende que siempre es en un abierto en el que F (x)
sea derivable.)
Propiedades. De ladefinici´n de integral indefinida se deducen de manera trivial las
o
siguientes propiedades:
∫
•

∫

∫

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

∫
• ∀k ∈ R, se verifica:

•

d
dx
∫

•

(∫

g(x)dx
∫

kf (x) dx = k

f (x) dx

)
f (x) dx = f (x)

f ′ (x) dx = f (x) + C.

Si recordamos la notaci´n habitual de la diferencial de una funci´n: df (x) =
o
o
′ (x) dx, es habitualescribir esta propiedad en la forma:
f
∫

′

f (x) dx =

5.2

∫
d(f (x)) = f (x) + C

Integrales B´sicas o Inmediatas
a

Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el integrando la derivada de una funci´n conocida. Evidentemente no se trata de un concepto
o
matem´tico riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales b´sicas
a
a
m´shabituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las
a
siguientes:

45

´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7

∫
∫
∫
∫

xp dx =

xp+1
+ C , p ̸= −1
p+1

ex dx = ex + C
sen x dx = − cos x + C

dx
= tan x + C
2
∫ cos x
dx
= arctan x + C
2+1
∫ x
−dx
√
= arccos x + C
1 − x2
∫
cosh x dx = senh x + C
∫
dx
√
= arcsenh x + C
x2 + 1
∫dx
= arctanh x + C , x ∈ (−1, 1)
1 − x2

∫

dx
= ln |x| + C ∗
x
∫
ax
ax dx =
+ C , a > 0, a ̸= 1
ln a
∫
∫

cos x dx = sen x + C

dx
= − cotan x + C
2
∫ sen x
dx
√
= arcsen x + C
1 − x2
∫
senh x dx = cosh x + C
∫
dx
√
= arccosh x + C
x2 − 1
∫

dx
= arccoth x + C , |x| > 1
1 − x2

∫

dx
= ln |x| + C, se basa en un peque˜o abuso de notaci´n.
n
o
x...