para todos

SEMANA 8
Tema :

RELACIONES ENTRE PLANOS Y RECTAS

INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO

r

Para obtener la intersección entre una recta L1 : x = P + tv , y el plano ∏ : Ax + By + Cz + D = 0 , lo
que se debe hacer es despejar x , y y z en la ecuación de la recta y sustituimos este despeje en la
ecuación del plano. Resolvemos para t , si la solución es única, con este valor de t obtenemosel
punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta.
Observe que la ecuación en t puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o
no tener solución (no hay intersección)

 x = 2 + 3t

Ejemplo Encuentre el punto en el que la recta con ecuaciones paramétricas  y = −4t , cruzan al
z = 5 + t

plano 4 x + 5 y − 2 z = 18
Solución:
Sustituimos lasexpresiones para x , y y z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano

4 x + 5 y − 2 z = 18

4 ( 2 + 3t ) + 5 ( −4t ) − 2 ( 5 + t ) = 18
Esto implica se simplifica obteniendo:

t = −2

Por tanto, el punto de intersección ocurre cuando el valor de t = −2 . Entonces

x = 2 + 3 ( −2 )
x = −4

y = −4 ( −2 )
y =8

Por lo tanto el punto de intersección es ( −4;8;3)

z = 5−2z =3

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Dos planos pueden tomar las siguientes posiciones relativas en el espacio: paralelos, coincidentes y
secantes:

Dos planos coincidentes tienen puntos en común.
Dos planos paralelos no tienen puntos en común.
Dos planos secantes tienen una recta en común.
Consideremos los planos

uur

1 = ( A ; B1 ; C1 )
1
uur
∏ 2 : A2 x + B2 y + C2 z = D2, con normal 2 = ( A2 ; B2 ; C2 )

∏1 : A1 x + B1 y + C1 z = D1 , con normal

A1 B1 C1 D1
=
=
=
entonces los planos son coincidentes
A2 B2 C2 D2
A
B
C
D
2) Si 1 = 1 = 1 ≠ 1 entonces los planos son paralelos
A2 B2 C2 D2
3) Cuando no se den los dos casos anteriores es que los planos son secantes

1) Si

Intersección entre Planos secantes
Dos planos cuyos vectores normales nosean paralelos se interceptan en una recta; esta recta recibe
el nombre de recta de intersección de los planos.
A la ecuación de la recta que es la intersección de dos planos se denomina ecuación biplanar de la
recta y se expresa en la forma siguiente:

∏ : A x + B1 y + C1 z + D1 = 0
L: 1 1
∏1 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
La ecuación de la recta biplanar se expresa en forma vectorial,paramétrica y simétrica. El vector
dirección v de la recta se determina en la forma siguiente:

uur
Donde

1 = ( A ; B1 ; C1 ) y
1

uur
2

r uu uur
r
v = 1× 2

= ( A2 ; B2 ; C2 ) son los vectores normales del plano. El punto

P0 ( x0 ; y0 ; z0 ) por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los
planos.

Ejemplo Encuentre la ecuación de la rectadado por la intersección de los planos x + y + z = 1 y

x − 2 y + 3z = 1
Solución:

r

Calculando el vector de dirección v de la recta:

i j k
r uur uur
v = 1 × 2 = 1 1 1 = ( 5; −2; −3)
1 −2 3
Ahora calculando un punto de la recta L , para esto resolvemos el sistema de ecuaciones:
x + y + z = 1

 x − 2 y + 3z = 1
Entonces

2x + 5 y = 2

Ahora damos un valor cualesquiera delas variables de x e y , por ejemplo x = 1 , y = 0 , z = 0 .

Entonces P0 (1;0;0 ) . Así las ecuaciones simétricas de L pueden escribirse como:

x −1 y
z
=
=
5
−2 −3

3
Ingeniería Civil, Minas y Geológica
Semestre 2013-2

Ángulo entre dos Planos
Consideremos las ecuaciones generales de dos planos:

uur

= ( A1; B1; C1 )
uur
∏ 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , cuya normal es 2= ( A2 ; B2 ; C2 )
∏1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , cuya normal es

1

El ángulo θ formado por los planos es igual al ángulo formado sus respectivas normales, es decir:

uur uur
⋅ 2
cos θ = uur1 uur
1

2

Ejemplo Encuentre el ángulo que forman los planos x + y + z = 1 y x − 2 y + 3 z = 1
Solución:

uur

Los vectores normales de los planos

1 = (1;1;1) y

uur

2 = (1;...