parabola

Parábola (matemática)
Para otros usos de este término, véase parábola.

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a sugeneratriz.nota 1 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamadadirectriz,nota 2 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometríaproyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de lasecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influenciaexclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Ecuaciones de la parábola


Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.


Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide conel eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuaciónno fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje.(QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV²resulta en
.
Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical ysu vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .
[editar]Ecuacióninvolucrando la distancia focal


Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa mismadistancia del último.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es ....