PARABOLAS

GEOMETRIA ANALITICA. LAS CONICAS
La geometría analítica es el estudio de la geometría
mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada
una ecuación algebraica.
Estudia dos procedimientos fundamentales:
1.Dada una ecuación dependiente de las variables x e y,
dibujar su grafica, es decir representarla geométricamente
como un conjunto de puntos en el plano.
2.Dado un conjunto de puntos en elplano, relacionados por
ciertas condiciones geométricas, determinar una ecuación
cuya representación grafica corresponda enteramente
aquellos puntos.

LA PARABOLA
ES EL LUGAR
GEOMÉTRICO DE
LOS PUNTOS DEL
PLANO QUE
EQUIDISTAN DE UN
PUNTO FIJO
LLAMADO FOCO Y
DE UNA RECTA FIJA
LLAMADA
DIRECTRIZ.

HIPÉRBOLA
ES EL LUGAR
GEOMÉTRICO DE LOS
PUNTOS DEL PLANO
CUYA DIFERENCIA DE
DISTANCIAS ENTRE
DOS PUNTOSFIJOS
ES CONSTANTE.
ESTOS DOS PUNTOS
FIJOS SE LLAMAN
FOCOS DE LA
HIPÉRBOLA.

Geometría Natural

LA PARABOLA :
Son puntos que se mueven en el plano de tal
manera que equidistan a la misma distancia
de un punto fijo “F” llamado foco, y de una
recta fija “D” llamada directriz.
Y

EJE
FOCO “F”

X

VERTICE
“V”

DIRECTRIZ
“D”

PARTES DE LA PARÁBOLA:

1.2.3.4.5.-

Vertice
Foco
Recta DirectrizDistancia Focal
Lado recto

Lado recto

DISTANCIA
FOCAL «P»

DIRECTRIZ
“D”

VERTICE
“V”

FOCO “F”

A.- PARABOLAS CON VERTICE EN EL ORIGEN
(EJE FOCAL VERTICAL)

LA ECUACION DE LA PARABOLA ES : x² = 4py
Es una parabola con las siguientes características:
Vertice

V (0, 0)

Foco

F (0, p)

Directriz

D→ y=-(p)

La parábola se abre hacia arriba si p > 0, o abre hacia
abajo si p < 0.

Donde « p » es ladistancia del
vértice al foco (distancia focal)

FOCO (0, p)
DIRECTRIZ y = + p

FOCO (0, p)
VERTICE (0,0)
DIRECTRIZ y = - p

x² = 4py con p > 0

x² = 4py con p < 0

DETERMINACION DE LA ECUACION DE UNA PARABOLA
Ejemplo 1: Deduzca la ecuación de la parábola con vértice
(0, 0) y foco (0, 2) y trace su gráfica.
Solución: Cómo el foco es (0,2), se deduce que
p = 2, (la directriz sera D → y = - 2). Por loanterior
la ecuación de la parábola es:
x² = 4py

FOCO (0, 2)

x² = 4(2)y
x² = 8y
Lado recto = 4p = 4(2) = 8
DIRECTRIZ y = - 2

p= 2>0

2.- Determine la ecuación de la Parábola con Vértice (0, 0), Foco
(0 -3) y trace la gráfica.

P = - 3 ; ecuación x² = -12y; Directriz y = 3; LR = 12
DETERMINE EL FOCO Y LA DIRECTRIZ DE UNA PARABOLA A
PARTIR DE SU ECUACION.
Ejemplo 3.- Determine el foco y ladirectriz de la parábola
x² = 9y
SOLUCION: Al comparar la ecuación
x² = 9y
con la Ecuación general
se deduce que 4p = 9 entonces p = 9/4

x² = 4py

El FOCO SERA : F (0, 9/4) y LA DIRECTRIZ D →y = - 9/4

Foco (0, 9/4)

Directriz -9/4

LR = 9

Ejemplo 4.- DETERMINAR EL FOCO Y LA DIRECTRIZ DE LA
ECUACION
x² = -16y

Foco (0, -4), Directriz y = 4

Ejemplo 5.- DETERMINAR EL FOCO Y LA DIRECTRIZ DE LAECUACION, LUEGO GRAFIQUE.
y = -x²

Foco (0, -1/4), Directriz y = 1/4

B.- PARABOLAS CON VERTICE EN EL ORIGEN
(EJE FOCAL HORIZONTAL)
LA ECUACION DE LA GRAFICA ES : y ² = 4px
Es una parabola con las siguientes propiedades:
Vertice

V (0, 0)

Foco

F (p, 0)

Directriz x = - ( p)
La parábola se abre hacia la derecha si p > 0, o abre hacia la
izquierda si p < 0.

Ejemplo 1.- Deduzca la ecuación y directrizde la parábola
con vértice (0, 0) y foco (5, 0) y trace su gráfica.
Solución: Cómo el foco es (5 ,0), se deduce que
p = 5, (la directriz sera x = - 5). Por lo anterior la
ecuación de la parábola es:
y² = 4px
y² = 4(5)x

Foco (5, 0)

y² = 20x

Directriz -5

Ejemplo 2.- DETERMINE LA ECUACION DE LA PARABOLA CON
VERTICE (0,0) Y FOCO (-4, 0), TRACE SU GRAFICA.

DETERMINE EL FOCO Y LA DIRECTRIZ DE LAPARABOLA
6x + y² = 0

TRACE SU GRAFICA.

Solución:
PRIMERO ESCRIBIMOS LA ECUACION EN SU FORMA y² = - 6x, AL
COMPARARLO CON LA ECUACION GENERAL y ² = 4px, PODEMOS
DEFINIR QUE 4p = -6, POR LO QUE p = -3/2, O SEA QUE EL FOCO ES
IGUAL A (-3/2, 0), Y LA DIRECTIRZ ES x = 3/2.
Directriz 3/2
Foco (-3/2, 0)

Resumiendo la forma estándar de la parábola
(con vertice en el origen) :
Ecuacion
canónica

x² =...