parcial matematicas II unimet

Caracas, junio 2013
7 a.m.

MATEMÁTICAS II
SOLUCIÓN PARCIAL N°2

PREGUNTA 1
Calcular las siguientes integrales:

a.



Sen (x) Cos (x)



b.

dx

eSen(x)  3

2

 Sen(2x)  Cos (2x)

 Sec (2x)  Csc(2x) dx




SOLUCIÓN PREGUNTA 1 (7 a.m.)
Parte (a)
Sea:
I



Sen (x) Cos (x)
Sen(x)  3

e

dx 

e

Sen (x)
Sen(x)  3

Cos(x) dx

Sea:z  Sen(x)  3

dz  Cos(x) dx

I 





z3

e

z



Sen(x)  z  3

dz 

 z  3 e

-z dz

Sea:

 u  z  3  du  dz


dv  e - z dz  v   e - z


I   z  3

e -z 

I   z  3 e



e-z dz

-z  e-z  C

1

I    Sen(x)



Sen (x) Cos (x)

e

Sen(x)  3

33

dx  

 e- (Sen(x)  3 )

 e- ( Sen(x) 3 )  C

 Sen(x)  e- (Sen(x)  3 )

 e- ( Sen(x)  3 )  C

[ 3 ptos.]
Parte (b)
Sea:

W ( x) 



 Sen(2x)

 Sec (2x)


2

 Cos (2x)

 Csc(2x)


dx 



 Sen(2x) Cos(2x) 2

Cos (2x) Sen(2x) dx

W ( x) 



Sen2 (2x) Cos2 (2x) Cos (2x) Sen(2x) dx

W ( x) 





2
3
 1 - Cos (2x)  Cos (2x) Sen(2x) dx



Sea: u  Cos(2x)W (x ) 

W (x )  







1
du  Sen(2x) dx
2

1  u  u
2

3

1
 1 

 du  
2
 2 



u3 du 

1
2



u5du

1 u4
1 u6
1 Cos4 (2x)
1 Cos6 (2x)

C

C
2 4
2 6
2
4
2
6

Conclusión:



2

 Sen(2x)  Cos(2x)
Cos4 (2x)
Cos6 (2x)


dx  

C
 Sec (2x)  Csc(2x)
8
12


[ 2 ptos.]
Total: 5 ptos.

2PREGUNTA 2
La Eichhornia, comúnmente llamada Lirio de agua o bora, es una planta acuática invasora que
suele cubrir la superficie de importantes cuerpos de agua dulce, como ocurre en el embalse La
Mariposa que surte de agua a Caracas.
El grupo de especialistas ambientales al que perteneces ha estado realizando un extenso trabajo
de campo en el mencionado embalse, el cual ha consistido en laremoción y pesado de desechos
de dicha planta durante los últimos dos años; y como producto de esta actividad de investigación
han postulado un modelo de dispersión para el Lirio de Agua de La Mariposa según el cual:
el crecimiento de la planta sobre la superficie del embalse se da en forma circular y de modo
que, a “x” kilómetros del brote primario de la Bora, ésta se distribuye a razón de:F(x) 

 

Ln 3 x
3

Toneladas
Km

x

de Bora
2

para

x  1, 2 

De acuerdo al modelo descrito ¿cuántas toneladas de bora habría en la zona de la superficie del
embalse donde 1  x  2 Km ?

SOLUCIÓN PREGUNTA 2 (7 a.m.)
La cantidad de toneladas de bora “B” para la zona que se extiende de 1 a 2 Km del “brote
primario” se determinará considerando:
Partición de “n”subintervalos para x   1,2
Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: Puntos medios de c/subintervalo ( x i* )
Constante a F(x) para cada subintervalo y dada por su valor en el punto muestra
respectivo.
En consecuencia, la cantidad aproximada de
bora que habría en la zona correspondiente al
subintervalo # i viene dada por:





Bi   xi   xi 1  F(x i* )
2

2

Bi   2 x

Δx  F(x )
*
i

x i1

xi

X (Km)
0

Bi    x i  x i 1  x i  x i 1  F( x* )
i
*
i

x i*

Toneladas

1

2

Ai  



xi



2

 

 x i1

2



Por lo tanto, de acuerdo al modelo planteado, la cantidad de bora que habría en la zona que se
extiende de 1 a 2 Km del “brote primario” es:

 n

B  Lím    2x i* F(x i* ) x 
n  
 i 1


3

B



2

 2x  Fx  dx 

1

B  2



2



2
1

  dx

3
2x  Ln x

3

x

 

2

x 3 Ln 3 x dx (1)
1
[ 2 ptos. plantear integral]

Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar el T.F.C., así:
Sea:


3  1
u  Ln  x   3 Ln (x) 




2


dv  x 3 dx




3 5
B  2 
x...