patriarcas

UPeU

Integración
numérica:

Docente: Braulio Gutiérrez Pari

Aplicaciones de la integral
Áreas
Volúmenes
Masas
Momentos y centroides
Longitud de una curva
Trabajo de una fuerza
Probabilidades
Carga eléctrica

Ejemplo
a) Un topógrafo podría necesitar saber el
área de un campo limitado por una
corriente zigzagueante y dos caminos

Ejemplo
b) Un ingeniero hidráulico talvez requiera
conocer el área de la sección transversal
de un río

Integral definida
• La integral es: área bajo la curva

b

 f ( x)dx  F ( x)
a

b

 F (b)  F (a)
a

Interpretación geométrica de la integral
definida

La integral definida plantea el límite de
una suma de áreas.
Suma desde
“a” hasta “b”

altura
b

Área   f ( x) dx
a

ancho

Como acaba deverse, el área de una
región podrá plantearse como el límite
de una suma de áreas. Este límite está
dado por la integral definida:

A 



a

b

f ( x) dx

Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y
positiva en ese intervalo.

Integración Numérica



2

1  k sen x dx

e

 x2

dx



sen x
dx
x



ex
dx
x

No pueden expresarse en términos de
funcioneselementales
Con frecuencia conviene usar métodos
aproximados
Métodos
Numéricos

Integración Numérica

Revisaremos las sumas de riemann para
aproximar
una
integral
definida
y
presentaremos dos métodos más:

1. La regla del trapecio
2. La regla de la Parábola

Sumas de Riemann
El área de una región podrá
plantearse por una integral
definida:

A = f(b) – f(a)Dividiremos dicha región en
rectángulos verticales. Por ejemplo
...

n = 3 rectángulos

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

Sumas de Riman
El área de un rectángulo

h

b

Area=b.h

y = f(x)

a=x0 x1

x2

xn-1

……

b=xn

El [a,b] particionamos en “n” subintervalos
Cada subintervalo es de tamañoh=(b-a)/n
Suma =

A1

+

A2

+…+

An

= (x1- x0)f(x1)+ (x2- x1)f(x2)+ … + (xn- xn-1)f(xn)

= ∑(∆xi)f(xi)

Consideremos los tres casos
1. Sumas de riemann del punto izquierdo
2. Sumas de riemann del punto derecho
3. Sumas de riemman del punto medio

1. Sumas de riemann del punto izquierdo

y = f(x)
A1 A2

a=x0 x1

… …

x2

An

xn-1

……

b=xn

El [a,b]particionamos en “n” subintervalos
Cada subintervalo es de tamaño h=(b-a)/n
Suma =

A1

+

A2

+…+

An

= (x1- x0)f(x0)+ (x2- x1)f(x1)+ … + (xn- xn-1)f(xn-1)

2. Sumas de riemann del punto derecho

A1 A 2

a=x0 x1 x2

… A
k+1

…

…

xk xk+1 ….

y = f(x)

An

xn-1

b=xn

El [a,b] se particionó en “n” subintervalos
Cada subintervalo es de tamaño h=(b-a)/n
=(x1-x0)f(x1)+(x2- x1)f(x2)+….+(xk+1- xk)f(xk+1)+…+(xn- xn-1)f(xn)
b

 f ( x)dx 
a

n 1

 (x
k 0

k 1

 xk ) f ( x k 1 )

n 1

b

 f ( x)dx 
a

 (x
k 0

a=x0 x1 x2

…

k 1

 xk ) f ( x k 1 )

xk xk+1

…

xn-1

b=xn

Del gráfico, podemos observar

xk 1  a  k  1h

xk  a  kh
n 1

b


a

f ( x)dx 

 (a  k  1h  a  kh) f (a k  1h)
k 0

n 1

 h f (a  k  1h)
k 0

ALGORITMO
Paso inicial: definir n y calcular h=(b-a) /2
Paso principal: Calcular
n 1

R  h f (a  k  1h)
k 0

R es una aproximación a
a

  f ( x) dx
b

Implementación
function R=Riemann(a,b,n)
h=(b-a)/n;
R=0;
for k=0:n-1
R=R+f(a+k*h);
end
R=h*R;

Problemas
2

x

2

dx

1

2

e

 x2

dx0
2

 sen(7 x

1

3

 sen(ln( x  x  5)))dx
4

1


0

5  x 3 dx

2

Area del trapecio

b
h

B

Area=h/2(B+b)

El método de los trapecios
y = f(x)

y0

x0

y1

x1

y2

x2

yn

xn

El método de los trapecios
y = f(x)

y0

x0

y1

x1

y2

x2

yn

xn

El método de los trapecios
y = f(x)

y0

x0

y1

x1

y2...