PAU 2010 Matematicas

Código: 26

PAU
XUÑO 2010
MATEMÁTICAS II

(O alumno/a deber responder só aos exercicios dunha das opcións . Puntuación máxima dos exercicios de cada
opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2 = 3 puntos, exercicio 3 = 2 puntos, exercicio 4 = 2 puntos).

OPCIÓN A
 1 1 0 
1. Dada a matriz A   0 1 0  ,


 0 1 1
a) Se I é a matriz identidade de orde 3, calcula os valores de  para os queA   I non ten inversa.
Calcula, se existe, a matriz inversa de A  2I .
b) Calcula a matriz X tal que XA  At = 2X , sendo At a matriz trasposta de A.

2. Sexa r a recta que pasa polo punto P(1,-1,-2) e é perpendicular ao plano  : x  2 y  3z  6  0 . Sexa
s a recta que pasa polos puntos A(1,0,0) e B(-1,-3,-4).
a) Estuda a posición relativa das rectas r e s . Se se cortan, calcula o punto decorte.
b) Calcula a distancia do punto A(1,0,0) ao plano  que pasa polo punto P(1,-1,-2) e é paralelo a  .
3. Debuxa a gráfica de f ( x) 

x 2  3x
, estudando: dominio, puntos de corte cos eixos, asíntotas,
x 1

intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos
de concavidade e convexidade.
4. a) Enuncia o teorema fundamental do cálculointegral. Sabendo que



x

0

f (t )dt  x 2 (1  x) , con f

unha función continua en todos os puntos da recta real, calcula f (2).
2

 x2  1
b) Calcula  2
1 x  x

dx

OPCIÓN B
1. a) Discute, segundo os valores do parámetro a, o seguinte sistema de ecuacións lineais:
ax  2 y  2 z  a
x 
y 
z  0
2x



y  2z  a

b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso a  0.

y 1

2.Dada a recta r : 
x  z  4  0
a) Calcula a ecuación do plano  que pasa polo punto Q(0,2,2) e contén a recta r . Calcula a área do
triángulo que ten por vértices os puntos de intersección de  cos eixos de coordenadas.
b) Calcula a ecuación xeral do plano que contén a recta r e é perpendicular ao plano  .
3. a) Define función continua nun punto. ¿Cando se di que unha discontinuidade éevitable?¿Para que
valores de k , a función f ( x) 

ex
é continua en todos os puntos da recta real?
x2  k

b) Determina os valores de a, b, c, d para que a función g ( x)  ax3  bx2  cx  d teña un máximo
relativo no punto (0,4) e un mínimo relativo no punto (2,0).
4. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola recta x  y  7 e a gráfica da parábola f ( x) = x 2  5.

(Nota: para o debuxo dasgráficas, indicar os puntos de corte cos eixos, o vértice da parábola e
concavidade ou convexidade)

Código: 26

PAU
SETEMBRO 2010
MATEMÁTICAS II

(O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada
opción: exercicio 1 = 3 puntos, exercicio 2 = 3 puntos, exercicio 3 = 2 puntos, exercicio 4 = 2 puntos).

OPCIÓN A
1. a) Pon un exemplo de matrizsimétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3.
b) Sexa M unha matriz simétrica de orde 3, con det(M )  1 . Calcula, razoando a resposta, o
determinante de M  M t , sendo M t a matriz trasposta de M .
 1 1   2 2 
.
0

c) Calcula unha matriz X simétrica e de rango 1 que verifique: X  

 2 2   0

 x  y  z 3  0
 3x  5 y  3z  7  0

2. Dada a recta r : 

a)Calcula a ecuación xeral do plano  perpendicular a r e que pasa polo punto P(2, 1, 2) .
b) Calcula o punto Q no que r corta a  . Calcula o ángulo que forma o plano  con cada un dos
planos coordenados.
3. a) Definición e interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto.
e x  e x  2cos x
x0
sen( x 2 )

b) Calcula: lim

4. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola gráficade y   x 2  1 e as rectas tanxentes a esta
parábola nos puntos de corte da parábola co eixo OX. (Nota: para o debuxo das gráficas, indicar os puntos
de corte cos eixos, o vértice da parábola e concavidade ou convexidade).

OPCIÓN B
1. a) Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema de ecuacións lineais
mx  y  2 z  0
x  y 
z  0
x  y  z  m
b) Resólveo, se é posible, nos casos...