PEC_ Resolucio_n

Grado en Administración y Dirección de Empresas — Matemáticas I
PRUEBA DE EVALUACIÓN CONTINUA
Curso 2014/2015
1. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
⎧
⎨x + 2y − z = −3
⎩
y + z = 0.
Para este sistema se cumple:
a) es compatible determinado, y su única solución es la
terna (0, −1, 1);
b) es compatible indeterminado, y todas sus soluciones
verifican que la suma de suscomponentes segunda
y tercera es igual a la primera;
c) es incompatible;
d) ♣ ninguna de las anteriores.
Solución. La matriz ampliada del sistema ya es escalonada:
1
0

A=

2
1

−1
1

−3
0

.

2. Dado un parámetro a, se considera el siguiente sistema
de ecuaciones lineales:
⎧
⎪
2x + 3y + 5z = 0
⎪
⎪
⎨
5y − z = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ 4x + 2ay + 10z = 0.
Determinar para qué valor de a hay más de una solución:
a) a = 0; b)a ≠ 0; c) ♣ a = 3;

d) a ≠ −3.

Solución. Se trata de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Escalonemos su matriz de coeficientes. Obtenemos:
⎛
⎞
⎛
⎞
2 3
5
2
3
5
⎜
⎟ F3 ←F3 −2F1 ⎜
⎟
5
−1 ⎠ .
A = ⎝ 0 5 −1 ⎠
→⎝0
4 2a 10
0 2a − 6 0
A partir de este punto, debemos distinguir dos casos: 2a−6 = 0
o 2a − 6 ≠ 0. En el primer caso, es decir: a = 3, la matriz que
nos queda ya es escalonada:
⎞
⎛
2 35
⎟
⎜
A1 = ⎝ 0 5 −1 ⎠ ;
0 0 0

Ninguno de los pivotes está en la última columna, y la cantidad
de estos es dos, menos que el número de incógnitas: el sistema
es compatible indeterminado.

al presentar dos pivotes, que son menos que el número de incógnitas, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo original
es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

Obtengamos todas las solucionesdel sistema de ecuaciones,
para lo que calculamos la forma escalonada reducida de la matriz ampliada A; lo conseguimos con una sola transformación
elemental: F1 ← F1 − 2F2 . Llegamos a:

En el segundo caso: a ≠ 3, podemos aplicar a la matriz sucesivamente las transformaciones elementales F3 ← 1/(2a − 6) F3
y F3 ← F3 − (1/5)F2, que nos llevan a una matriz escalonada:
⎞
⎛
2 3
5
⎟
⎜
A2 = ⎝ 0 5 −1 ⎠ .0 0 1/5

1
0

0
1

−3
1

−3
0

,

que es la matriz ampliada de este sistema:
⎧
⎨x
− 3z = −3
⎩
y + z = 0,
el cual es equivalente al del enunciado. En este sistema, las incógnitas x y y son básicas (son las primeras de alguna ecuación)
y la incógnita z es libre; despejando aquellas en función de esta,
obtenemos:
x = −3 + 3z, y = −z,
y así, tomando z = λ, podemos afirmar que todas las soluciones
delsistema original son las ternas de la forma:
−3 + 3λ, −λ, λ ,

donde λ es cualquier número.

Se aprecia que la suma de las componentes segunda y tercera es
nula cualquiera que sea el valor de λ, y que esta suma no coincide con la primera componente salvo en un caso (justamente
cuando −3 + 3λ = 0, o bien: λ = 1).

Esta matriz escalonada tiene tres pivotes, tantos como incógnitas, luego el sistemahomogéneo es compatible determinado:
su única solución en este caso es la terna nula.
En resumen:
• si a = 3, entonces el sistema es compatible indeterminado;
• si a ≠ 3, entonces el sistema es compatible determinado:
su única solución es la terna nula.
También podemos resolverlo con ayuda de los determinantes.
El sistema homogéneo del enunciado es compatible indeterminado precisamente si eldeterminante de su matriz de coeficientes es nulo. (Nótese que el sistema tiene el mismo número
de ecuaciones que de incógnitas; si tal determinante no fuera
nulo, el sistema sería de Cramer, es decir, con solución única
—y esta solo podría ser la nula—: compatible determinado.) Se
tiene:
2 3
5
det(A) = 0 5 −1 = 4a − 12.
4 2a 10
Así, el determinante es nulo precisamente si 4a − 12 = 0, lo que
equivale aa = 3.

3. Mismos datos que en la cuestión anterior: dado un parámetro a, se considera el sistema de ecuaciones lineales
⎧
⎪
2x + 3y + 5z = 0
⎪
⎪
⎨
5y − z = 0
⎪
⎪
⎪
⎩ 4x + 2ay + 10z = 0.

Solución. Designemos por A la matriz dada en el enunciado
cuya inversa queremos calcular. Si al par de matrices yuxtapuestas A I2 (donde I2 es la matriz identidad de orden 2)
le aplicamos la transformación F1...