Pendulo simple
Páginas: 3 (705 palabras)
Publicado: 29 de mayo de 2011
8. Demuestre en forma analítica las relaciones (14.1) y (14.2)
Respuesta
Para la ecuación (14.1)
De T0=Iα
-mgdSenθ=Id2θdt2
El ángulo θ por ser un angulo pequeño se cumple Senθ≈θ
Despejamosd2θdt2+mgdIθ=0
De la Ecuación diferencial
→d2xdt2+kmx=0
Donde km=w2
Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de km en el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad mgdθI así que la frecuenciaangular está dada por:
w=mgdI
Péndulo físico de amplitud pequeña
Y como T=2πw
T=2πImgd
Para la ecuación (14.2)
c
r
P
y
x
a
R
X
Y
θ
dm
La figura representa un cuerpo continuo ubicadoen el plano de la hoja, donde el eje Z pasa por
El centro de masa del cuerpo. Esto significa que las coordenadas del centro de masa son dadas por:
XCM=0; YCM=0; ZCM=0
Las coordenadas delelemento dm son:
x=RCosθ;y=RSenθ;z=0
Las coordenadas del punto P son:
x=a;y=0;z=0
Por P pasa otro eje de giro perpendicular a la hoja y paralelo al eje Z. El trazo CP=a. El momento de Inerciadel cuerpo con respecto al eje Z que pasa por el centro de masa es:
ICM=R2dm
El momento de Inercia del cuerpo con respecto de un eje que pasa por P y que es paralelo al eje Z del centro de masa,es:
IP=r2dm
De la figura y aplicando el teorema del coseno para un triángulo, que relaciona las dimensiones de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos, se obtiene:r2=R2+a2-2aRCosθ=R2+a2-2ax
De manera que:
IP=r2dm=R2+a2-2axdm
IP=R2dm+a2dm-2axdm
Dado que a= constante, tenemos:
IP=R2dm+a2dm-2axdm=ICM+a2dm-2axdm
Por otro lado sabemos que por definición de coordenada delcentro de masa:
XCM=xdmM; donde M=dm
De manera que
xdm=MXCM
Y puesto que hemos dicho que el centro de masa tiene coordenada XCM=0
Tenemos
xdm=0
De manera que
IP=ICM+a2M
9. Haga una lista desus conclusiones y comentarios.
Conclusiones
* El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no tienen una geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico....
Respuesta
Para la ecuación (14.1)
De T0=Iα
-mgdSenθ=Id2θdt2
El ángulo θ por ser un angulo pequeño se cumple Senθ≈θ
Despejamosd2θdt2+mgdIθ=0
De la Ecuación diferencial
→d2xdt2+kmx=0
Donde km=w2
Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de km en el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad mgdθI así que la frecuenciaangular está dada por:
w=mgdI
Péndulo físico de amplitud pequeña
Y como T=2πw
T=2πImgd
Para la ecuación (14.2)
c
r
P
y
x
a
R
X
Y
θ
dm
La figura representa un cuerpo continuo ubicadoen el plano de la hoja, donde el eje Z pasa por
El centro de masa del cuerpo. Esto significa que las coordenadas del centro de masa son dadas por:
XCM=0; YCM=0; ZCM=0
Las coordenadas delelemento dm son:
x=RCosθ;y=RSenθ;z=0
Las coordenadas del punto P son:
x=a;y=0;z=0
Por P pasa otro eje de giro perpendicular a la hoja y paralelo al eje Z. El trazo CP=a. El momento de Inerciadel cuerpo con respecto al eje Z que pasa por el centro de masa es:
ICM=R2dm
El momento de Inercia del cuerpo con respecto de un eje que pasa por P y que es paralelo al eje Z del centro de masa,es:
IP=r2dm
De la figura y aplicando el teorema del coseno para un triángulo, que relaciona las dimensiones de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos, se obtiene:r2=R2+a2-2aRCosθ=R2+a2-2ax
De manera que:
IP=r2dm=R2+a2-2axdm
IP=R2dm+a2dm-2axdm
Dado que a= constante, tenemos:
IP=R2dm+a2dm-2axdm=ICM+a2dm-2axdm
Por otro lado sabemos que por definición de coordenada delcentro de masa:
XCM=xdmM; donde M=dm
De manera que
xdm=MXCM
Y puesto que hemos dicho que el centro de masa tiene coordenada XCM=0
Tenemos
xdm=0
De manera que
IP=ICM+a2M
9. Haga una lista desus conclusiones y comentarios.
Conclusiones
* El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no tienen una geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico....
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