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colexio martín códax departamento de matemáticas

matemáticas 4º ESO exponenciales y logaritmos

exponenciales una exponencial es cualquier expresión de la forma: ax donde a (que se denomina base) es un número distinto de cero y x (exponente) un número cualquiera; este curso sólo trabajaremos con exponenciales en las cuales la base sea positiva y diferente de uno;

-ejemplos: 5x, 3x, 7-x,83x, etc. [nota: el exponente puede ser un polinomio en x o una fracción algebraica]

propiedades son las correspondientes a la potencias que ya vimos en un tema anterior; recordemos las más importantes: am an= am+n am:an= am-n (am)n= am n a1=a a0=1 a-n= 1/an

Ejercicio Calcula el valor de estas exponenciales para los valores de x que se indican: 1) 5x para x=2, x=5, x=0 2) 3x para x=1, x=-2,x=4 3) 9x para x=5, x=3, x=2 4) 2-x para x=4, x=3, x=1 5) 102x para x=0´5, x=3/2, x=0 6) 63x para x=-1, x=3, x=4

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ecuaciones exponenciales son aquellas que verifican que la incógnita o incógnitas aparecen formando parte de un exponente; resolveremos dos tipos:

a) ecuaciones exponenciales monómicas son aquellas que se pueden expresarcomo una igualdad entre dos expresiones monómicas;

- ejemplos: 52x+1=25 63x-1=216

- resolución: se trata de expresar los dos miembros de la igualdad como potencias de la misma base; si ésto no fuera posible hay dos posibilidades: o la ecuación no tiene solución o debe resolverse mediante el uso de logaritmos; veamos algunos ejemplos: 1) 52x+1=25 ponemos 25 como potencia de 5, con lo cual:52x+1=52 de la igualdad anterior se deduce que los exponentes son iguales; esta

/ / operación es equivalente a “tachar” las bases: 52x + 1 = 52 por ello: 2x+1=2; obtenemos una ecuación de 1º grado cuya resolución es inmediata: 2x=2-1 ⇒ 2x=1 ⇒ x=1/2

2) 63x-1=216

ponemos 216 como potencia de 6, con lo cual: 63x-1=63 / / tal y como hicimos antes, “tachamos” las bases: 6 3x −1 = 6 3 y así nosqueda la ecuación: 3x-1=3 cuya resolución es sencilla: 3x=3+1 ⇒ 3x=4 ⇒ x=4/3

2

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2 3) 5 x − 5x + 6 = 1

aquí el problema parece más complicado: ¿cómo expresamos 1 como potencia de base 5? si recordamos las propiedades de las potencias: a0=1, con lo cual, es cierto que 50=1; ésto nos conduce a lo siguiente: 5x
2

− 5x + 6

= 50

graciasa lo cual ya podemos resolver la ecuación: / “tachamos” las bases: 5 x
2

− 5x + 6

/ = 5 0 , y obtenemos: x 2 − 5x + 6 = 0 ,

ecuación de 2º grado que se resuelve utilizando la fórmula que aprendimos en 3º de ESO y cuyo resultado es: x1=2, x2=3

b) ecuaciones exponenciales trinómicas

son aquellas que, mediante una operación que denominamos “cambio de variable”, se pueden convertir enuna ecuación de 2º grado (que sí sabemos resolver)

- ejemplos 22x+1 - 3 2x + 1 = 0 32x-1 - 8 3x-1 - 3 = 0 [observemos que se denominan trinómicas porque aparecen 3 términos sumándose o restándose]

- resolución:
1) 22x+1 - 3 2x + 1 = 0

lo primero que debemos hacer es “aislar” los términos que llevan x utilizando las propiedades de las potencias:
6274 4 8 2 2x ⋅ 21 − 3 ⋅ 2 x + 1 = 0 acontinuación hacemos lo que se denomina un “cambio de variable”:
2 x +1

a 2 x le llamamos y   a 2 2x le llamamos y 2 , 

ya que :

2 2x = 2 x

( )

2

= y2

con lo cual la ecuación anterior queda de la siguiente manera: y 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ y + 1 = 0 , que es una ecuación de 2º grado de resolución inmediata:

3

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y =

− (−3) ±(−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅1

=

3± 9−8 3± 1 3 ± 1 y1 = 2 = =  2 2 2 y 2 = 1

calculada y debemos deshacer el cambio de variable para hallar x: 2x=y 2x=2 ⇒ x=1 2x=y 2x=1 ⇒ 2x=20 ⇒ x=0

2) 32x-1 - 8 3x-1 - 3 = 0

primer paso: “aislar” las incógnitas aplicando las propiedades de las potencias:
37 8 8⋅ 64 4 64748 43 4 2x −1 3 ⋅ 3 − 8 ⋅ 3 x ⋅ 3 −1 − 3 = 0
2 x −1 x −1

en este caso, al haber...