PEP 1 C Lculo Avanzado 2006

U. DE SANTIAGO DE CHILE FAC. DE CIENCIA DEP. DE MATEMÁTICA Y C.C.
PRIMERA PRUEBA CÁLCULO AVANZADO
Ingeniería Civil
Primer Semestre 2006
Sea f (x) = x (sin x) ; si

PREGUNTA 1.

< x < ; entonces:

a. Determine la Serie de Fourier de esta función.
b. Pruebe la convergencia de la serie:
1
X
( 1)n
1
=
2
n
1
4
n=2

Desarrollo.
a.
La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x)

8x 2 (

; ),entonces:

bn = 0
a0 =

1

x sin xdx =

Z

x sin(x) cos(nx)dx

1

0

an =

2

2

Z

4[x ( cos x)] +
0

Z

0

3

cos xdx5 = 1

0

Para n 6= 1
an =

1

Z

x [sin [(n + 1) x]

sin [(n

1) x]] dx =

2( 1)n+1
n2 1

0

Para n = 1
Z
a1 = 2
x sin(x) cos(x)dx =
0

1

Z

x sin(2x)dx =

1
2

0

Por lo tanto la serie es:
x sin x = 1

1
2

cos x + 2

1
X
( 1)n+1
cos(nx)
n2 1
n=2

b. En x = 0 hay un punto de continuidadde la función, entonces la serie converge a f (0)
f (0) = 0 = 1

)

1
2

cos 0 + 2

1
X
( 1)n+1
cos(0)
n2 1
n=2

1
X
1
( 1)n+1
=
2
n
1
4
n=2

PREGUNTA 2.

Una partícula se moviliza en el espacio IR3 siguiendo la trayectoria descrita por
1

~r(t) = 2 +

p1
2

p1
3

cos t +

p1
2

sin t; 2

cos t +

p1
3

sin t; 1 +

p1
3

sin t ; t 2IR

a. Pruebe que ~r(t) describe una circunferencia contenida enel plano x + y
dicha circunferencia.

2z = 2: Indique el radio de

ˆ N
ˆyB
ˆ para todo t
b. Calcule T,
Desarrollo.
1
1
a. x = 2 + p cos t + p sin t
2
3
y=2

1
1
p cos t + p sin t
2
3

2z =
x+y

2
p sin t
3

2

1
cos t) + p (sin t + sin t
3

1
2 + p (cos t
2

2z = 4

) ~r(t) está contenida en el plano x + y

2 sin t) = 2

2z = 2

Además:
~r0(t) =

p1
3

k~r0(t)k =

(cos t)

r

p1
3

p1
2

(sin t); p13 (cos t) +

(cos t)

2

p1
2

(sin t)

=

1
2

=

1
2

p1
2

(sin t) ; p13 (cos t)

p1
3

sin2 t +

1
3

cos2 t

sin2 t +

1
3

2
cos2 t + p sin t cos t
6

(cos t) +

p1
2

2

+

(sin t)

+

p1
3

2

(cos t)

Por componentes:
2

p1
3

(cos t)

p1
2

(sin t)

p1
3

(cos t) +

p1
2

(sin t)

p1
3

(cos t)

=

1
3

2

2

2
p sin t cos t
6

cos2 t

Luego,
k~r0(t)k =
k~r0(t)k =

r

q

2
p sin tcos t +
6

1
2

sin2 t +

1
3

cos2 t

2
2

sin2 t +

3
3

cos2 t = 1

1
2

sin2 t +

1
3

2
cos2 t + p sin t cos t +
6

1
3

cos2 t

) k~r0(t)k = 1. De esto se deduce que t = s donde s parámetro longitud de arco.
Calculamos ahora
~r00(s) =

p1
2

(cos t)

p1
3

(sin t) ; p12 (cos t)

p1
3

Como K(s) = k~r00(s)k calculamos
r
2
k~r00(s)k = 13 sin2 t + 21 cos2 t + p sin t cos t +
6
p
k~r00(s)k = sin2t + cos2 t = 1

1
3

p1
3

(sin t) ;

sin2 t +

1
2

(sin t) :

cos2 t

K(s) = 1 constante por lo que ~r(t) describe una circunferencia.

2

2
p sin t cos t +
6

1
3

sin2 t

R=

1
) R = 1 radio de la circunferencia.
K

ˆ N
ˆyB
ˆ
b. T,
T^ =

^ =
N

p1
2

sin s +

dT^
ds
dT^
ds

^ = T^
B

^=
B

=

cos s; p12 sin s +

p1
2

(cos s)

p1
3

i
sin s +
p1 (cos s)
2
p1
2

^ =
N

p1 ;
6

p1
3

p1 ;
6p1
3

cos s; p13 cos s

(sin s) ; p12 (cos s)

p1 cos s
3
p1 (sin s)
3

p1
3

j
sin s +
p1 (cos s)
2
p1
2

(sin s) ;

p1 cos s
3
p1 (sin s)
3

p1
3

(sin s)

p1
3
p1
3

k
cos s
(sin s)

p2
6

Una curva C está determinada por la intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2
a 2
a2
+ y 2 = : Se pide:
2
4

PREGUNTA 3.
y el cilindro recto x

a. Parametrizar la curva C.
b. Determinar la ecuación de larecta tangente a la curva en el punto (0; 0; a)
c. Determine la ecuación del plano osculador del correspondiente triedro móvil en el punto (0; 0; a) de dicha
curva.
Desarrollo.
a
a
a. x
= cos t
2
2

;

y=

a
sin t considerando al cilindro.
2

De la ecuación de la esfera: z 2 = a2

x2

y2

=

a2
(1
2

Reemplazando:
a
(1 + cos t)
2

z 2 = a2

2

a
sin t
2

2

cos t)

La ecuación de la trayectoria es:~r(t) =

a
a
a p
(1 + cos t) ; sin t; p
(1
2
2
2

cos t)

b. Si ~r(to ) = (0; 0; a) ) to =
~r0(t) =

1
1
a
p
2 a sin t; 2 a cos t; 2 2

~r0( ) = 0;

p

sin t
cos t + 1

a
a
; 0 = (0; 1; 0)
2
2

Como (0; 1; 0) = T^ la ecuación de la recta tangente es:
(x; y; z) = (0; 0; a) + t (0; 1; 0)
0

B
c. ~r00(t) = B
@

a
2

cos t;

a
2

a
sin t; p
2 2

; t 2 IR
p
cos t 1

1
sin2 t
p
2 1 cos t C
C
A
cos t...