Pep Ecuadif

SOLUCION SEGUNDA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES Ingeniería Civil Códigos 10008-11039-19003-95007- 96008 Primer Semestre 2012 (13/06/2012) Pregunta 1 Cuando una masa que pesa 32 libras se cuelga de un resorte, lo estira 2 pies, y llega al reposo en su posición de equlibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f (t) = e t cos 4t: Formule la ecuación delmovimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numericamente igual a 8 veces la velocidad instantánea. Analice los desplazamientos cuando t crece inde…nidamente.

Solución. De acuerdo a los datos W = 32 lb = mg =) mg = m 32. ) m = 1 slug 32 = k 2; ) k = 16 y c x0 = 8v ) c = 8 El problema de valor inicial es: x00 + 8x0 + 16x = e
t

cos 4t; x(0) = x0 (0) = 0....................................................................................................0.5 primero x00 + 8x0 + 16x = 0; considero 2 + 8 + 16 = ( + 4)2 = 0 Las soluciones son x1 (t) = e 4t ; x2 (t) = te 4t ) xh (t) = C1 e 4t + C2 te 4t ....................................................................................................0.3 Para determinar xp (t) usamos el método coe…cintesindeterminados, planteamos xp (t) = e t (A cos 4t + B sin 4t) dado que f (t) = e t cos 4t: x0 (t) = e t ((4b p x00 (t) p = e (( 8B
t

A) cos 4t + ( B

4A) sin 4t) (1)

15A) cos 4t + ( 15B + 8A) sin 4t)

Sustituyendo en la ecuación: x00 + 8x0 + 16x = e t ((24B Formamos el sistema 24B 7B Resolviendo se tiene A= 7 ; 625 B= 24 625 7A = 24A = 1 0 7A) cos 4t + ( 7B 24A) sin 4t) = e
tcos 4t:

xp (t) = e t (

7 24 cos 4t + sin 4t) 625 625 1

....................................................................................................0.4 La solución general es x(t) = C1 e
4t

+ C2 te

4t

+ e t(

24 7 cos 4t + sin 4t) 625 625

7 7 = 0 =) C1 = Como x(0) = 0; se tiene C1 625 625....................................................................................................0.2 Derivando x0 (t) = 4C1 e +e t (
4t

+ C2 e

4t

4C2 e

4t

e t(

7 24 cos 4t + sin 4t) 625 625

96 28 sin 4t + cos 4t) 625 625 75 625

7 96 De x0 (0) = 0; se tiene 4C1 + C2 + + = 0 =) C2 = 625 625 ....................................................................................................0.4 La solución particular es x(t) = e4t (7 625 75t) +
4t

e t (7 cos 4t 625
t

24 sin 4t)

Además, si t ! 1; e

!0 y e

! 0;

por lo tanto x(t) ! 0 ....................................................................................................0.2

Pregunta 2 Hallar todos los valores de de la ecuación: t(1

para los cuales, la solución analítica en t = 0 t)x + (1
00

2t)x0 + x = 0

sea unpolnomio de grado n: Calcule para = 20 una solución polinomial en t = 0: Solución. Dado que 1 2t a(t) = analítica en t = 0: 1 t t b(t) = analítica en t = 0: 1 t Luego t = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial ,usamos Frobenius. (o , como la solución se pide analítica, se puede usar la serie de potencias).....................................................................................................0.2 el polinomio indicial es : 2

( 1) + = 0 ) 2 = 0 entonces = 0 es raíz doble. ....................................................................................................0.1 Sea x1 (t) =
1 X

Ck tk

solución analítica . Derivando
1 X

k=0

x0 (t) = 1

k=1

1 X

Ck ktk

1

y x00 (t) = 1

Ck k(k

1)tk

2

k=2Reemplazamos en la ecuación: t(1
1 X

t)
1

k=2

1 X

Ck k(k

1)tk

2

+ (1 Ck ktk

2t)
1

Ck k(k

1)tk

Ck k(k

1)tk +

k=2

k=1

1 X

k=1 1 X

1 X

Ck ktk

1

+

2

Ck ktk +

k=1

k=0 1 X

1 X

Ck tk Ck tk

= =

0 0

k=0

ordenando
1 Xh

( C0 +C1 )+((

2)C1 +4C2 )t+

(k + 1) Ck+1

2

(k(k + 1)

k=2

i ) Ck tk = 0...