Perturbaciones

Econometría II
Perturbaciones no esféricas Miguel Jerez y Sonia Sotoca Universidad Complutense de Madrid p

Marzo 2010

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Índice
• Tratamiento general • Autocorrelación • Heterocedasticidad • Soluciones: estimación en presencia de autocorrelación y/o heterocedasticidad • Ejemplo de autocorrelación • Ejemplo de heterocedasticidad

Ver. 11/03/2010, Pag. # 2Tratamiento general (I): Planteamiento g ()
En Econometría I se planteó el modelo:

y = X β + ε ; ε ∼ N (0, σ 2 Ι)
2 En donde la expresión ε ∼ N (0, σ Ι) resulta de suponer que las perturbaciones son:

• normales y • esféricas, supuesto que a su vez está formado por dos: • homoscedasticidad: ∀ t : E (εt2 ) = σ 2 • ausencia de autocorrelación: ∀ t , k (t ≠ k ) : E (εt εk ) = 0 En este temasupondremos que las perturbaciones son no esféricas, esto es, que:

y = X β + ε ; ε ∼ N (0, σ 2Ω)
en donde Ω es una matriz nxn, simétrica y definida positiva. Como veremos, cuando , p , las perturbaciones no son esféricas: • algunas propiedades de la estimación MCO se mantienen, mientras que • otras se pierden y sólo pueden recuperarse usando estimadores alternativos.
Ver. 11/03/2010, Pag. # 3Tratamiento general (II): Propiedades de los MCO g ( ) p
Cuando las perturbaciones no son esféricas, se mantienen aquéllas propiedades q que no dependen de los momentos de segundo orden de los estimadores: p g

ˆ • Insesgadez: E ( β ) = β

ˆ • Esperanza nula del error de p p previsión: E ( y * − X * β) = 0
Con perturbaciones no esféricas, la matriz de covarianzas del estimador MCO no tienela forma habitual:

ˆ cov ( β ) = Ε ⎡⎢⎣( X T X )−1 X T ε εT X ( X T X )−1 ⎤⎥⎦ = σ 2 ( X T X )−1 X T ΩX ( X T X )−1
... y, por tanto, cuando las perturbaciones no son esféricas: • se pierde la eficiencia de los MCO, ya que las covarianzas de las estimaciones no llegan a la cota de Cramer-Rao:
1 1 1 ˆ cov ( β ) = σ 2 ( X T X )−1 X T ΩX ( X T X )−1 ≠ σ 2 ( X T X )−1

• Asimismo, no son válidoslos resultados habituales de contraste de hipótesis y • ... de previsión por intervalo.
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Tratamiento general (III): Estimación por mínimos g ( ) p cuadrados generalizados (MCG)
Sabiendo que:

y = X β + ε ; ε ∼ N (0, σ 2Ω)
Ω−1 = P T P
Premultiplicando (1) por P se obtiene el modelo transformado:

(1)

y = X β +ε

(2)

en donde: y = Py ; X = PX y ε = Pε ylas perturbaciones del modelo transformado (2) son esféricas, y q ( ) ya que:

E ( ε ) = PE (ε ) = 0
cov( ε ) = E ( ε ε Τ ) = E (P εεΤ P T ) = P E (εεΤ )P T = σ 2P (P T P ) P T = σ P (P )
2 −1 −1 T −1

(P )

P T = σ 2I

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Tratamiento general (IV): Estimación por mínimos g ( ) p cuadrados generalizados (MCG)
El resultado anterior puede leerse de dos maneras: •Como una transformación de los datos, en función de la matriz P, que permite transformar (1) en un modelo equivalente con p ( ) q perturbaciones esféricas ( ) (2). • Como un estimador alternativo, al que llamaremos “de Mínimos Cuadrados Generalizados” o MCG, con las mismas propiedades que el MCO en el caso de perturbaciones esféricas: f
-1 -1 -1 T T T T T T T -1 ˆ βMCG = ( X X ) X y = ( X P P X) X P P y = ( X Ω X ) X T Ω-1 y -1 -1 -1 ˆ cov( βMCG ) = σ 2 ( X T X ) = σ 2 ( X T P T P X ) = σ 2 ( X T Ω-1 X )

T 1 ˆT ˆ 1 ˆ ˆ ε ε = y − X βMCG ) ( y − X βMCG ) ( n−k n −k T T 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ y − X βMCG ) P T P ( y − X βMCG ) = y − X βMCG ) Ω-1 ( y − X βMCG ) = ( ( n−k n−k

σMCG = ˆ2

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Autocorrelación (I): Causas ()
La autocorrelación es una característicaespecífica de las series temporales, ya que requiere que los datos posean un orden natural natural. En general supondremos que la existencia de autocorrelación residual se debe a algún fallo en la especificación del modelo. Por ejemplo, a: • Usar una especificación estática cuando debería utilizarse una dinámica. • Omitir variables explicativas autocorreladas. • Especificar un modelo lineal cuando la...