Pi de la geometria al cálculo

El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico
Roberto Rodríguez del Río Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ciencias Químicas Universidad Complutense de Madrid rrdelrio@mat.ucm.es  http://www.mat.ucm.es/~rrdelrio/

Dibujo Técnico y Matemáticas: una consideración interdisciplinar Universidad Internacional Menéndez Pelayo Santander, 4-8 de septiembre de 2006

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1.Introducción
Todas las circunferencias son iguales, a diferencia de las figuras irregulares, de las que tenemos una infinita variedad. Si vemos una circunferencia, hemos visto todas. Son más grandes o más pequeñas, pero todas iguales. Esta igualdad o parecido entre todas las circunferencias se pone de manifiesto cuando dividimos la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Sea como sea lacircunferencia, más grande o más pequeña, el número que obtenemos al hacer la división anterior es siempre el mismo, aproximadamente 3,14. Un número al que el matemático inglés Oughtred (1574-1660) decidió denominar con la letra griega π.1 Este número es el protagonista de nuestra historia. Vamos a ver en este artículo algunas ideas que han surgido alrededor del intento de comprender y calcular esteimportante número que ha fascinado a artistas y matemáticos desde la antigüedad. Empezaremos recordando el clásico problema griego de la cuadratura del círculo y cómo este problema hace necesario el cálculo del número π de la manera más exacta posible. Comentaremos a continuación algunos intentos históricos de conseguir calcularlo, pasando por Arquímedes, Leibniz y Euler, hasta llegar a técnicasprobabilísticas y de cálculo numérico que, gracias al desarrollo del ordenador, permiten hoy en día calcular el número π con una tremenda rapidez y exactitud. Veremos finalmente una cronología (no exhaustiva) del cálculo de decimales de π y comentaremos brevemente algunos problemas y cuestiones abiertas en torno al número π.

2. La cuadratura del círculo
Los griegos sabían cómo construir uncuadrado cuyo área fuese igual a la de un polígono cualquiera dado. Por ejemplo, si queremos construir un cuadrado con área igual a la de un paralelogramo cuya base b y altura h sean conocidas, necesitamos construir un cuadrado con lado x que verifique la ecuación x 2 = bh . El objetivo entonces es construir la longitud x . Para ello procedemos como se muestra en la figura 1.

Figura 1: x 2 = bh .En primer lugar, dibujamos una semicircunferencia con diámetro b + h , por el punto B dibujamos una perpendicular al diámetro hasta tocar a la semicircunferencia en el punto D y ya tenemos la longitud del lado del cuadrado, x . Probar que realmente
A pesar de que la elección de la letra griega π para denotar la razón entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro, no fueron los griegos losque utilizaron por primera vez esta denominación, como hemos visto. Oughtred utilizó esta letra por ser la inicial de la palabra griega περιφερια (periferia). El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico Roberto Rodríguez del Río
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3 en la construcción que hemos hecho se verifica x 2 = bh es un sencillo ejercicio que dejaremos al lector con el objeto de que participe de una manera másactiva. Los griegos sabían incluso resolver el problema más complicado de construir un cuadrado cuyo área fuese igual a la de un cuadrilátero cualquiera dado. En efecto, supongamos que tenemos el cuadrilátero de vértices ABCD que hemos dibujado en la figura 2.

Figura 2: El área de ABCD es igual al área de AFD.

Empezamos dibujando la diagonal DB. Por el punto C dibujamos una paralela a ladiagonal DB. Finalmente dibujamos DF. De esta manera obtenemos un triángulo, el AFD, cuyo área es igual al del cuadrilátero inicial. También esto lo puede probar el lector sin ningún problema. Ahora el problema se reduce a construir un cuadrado cuyo área sea igual a la de un triángulo con dimensiones conocidas. Pero esto es 1 muy sencillo utilizando la ecuación x 2 = bh y la construcción que habíamos...