Plan De Tesis
Páginas: 17 (4027 palabras)
Publicado: 14 de noviembre de 2012
PROGRAMACIÓN LINEAL
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque deforma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.
En 1939, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemáticaprecisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.
Es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables, comúnmente en diversas disciplinas como Economía, Ingeniería, Sociología Biología, etc.
El nombre Programación Lineal noprocede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate.
En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de laescasez de recursos disponibles en la realidad.
Ejemplo 1: Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de alimentos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a $300 y cada saco de Q a $800. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo dealimento deben preparar para obtener los máximos ingresos?
Si designamos por x al número de sacos de alimento de clase P y por y el número de sacos de alimento de clase Q que se han de vender, la función: Z = 300x + 800y representará la cantidad de dólares obtenidos por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar.
Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener lasrestricciones:
| Nº | kg de A | kg de B |
P | x | 8x | 2x |
Q | y | 10y | 5y |
| | 80 | 25 |
Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0, y 0
Conjunto de restricciones:
8x + 10y 80 |
2x + 5y 25 |
x 0, y 0 |
Ejemplo No. 2 Problema de mínimos
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el repartogratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación.
El costo de producción de un yogur de limón es de $30 y $ 20 uno de fresa.
Sirepresentamos por x el número de yogures de limón e y al número de yogures de fresa, se tiene que la función de costo es Z = 30x + 20y.
Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:
* De número : x + y 80
* De fermentación: 0.5x + 0.2y 9000
* Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0
Conjunto de restricciones:
x + y80 |
0.5x + 0.2y 9000 |
x 0, y 0 |
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:
* La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las...
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque deforma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.
En 1939, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemáticaprecisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.
Es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables, comúnmente en diversas disciplinas como Economía, Ingeniería, Sociología Biología, etc.
El nombre Programación Lineal noprocede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate.
En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de laescasez de recursos disponibles en la realidad.
Ejemplo 1: Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de alimentos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a $300 y cada saco de Q a $800. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo dealimento deben preparar para obtener los máximos ingresos?
Si designamos por x al número de sacos de alimento de clase P y por y el número de sacos de alimento de clase Q que se han de vender, la función: Z = 300x + 800y representará la cantidad de dólares obtenidos por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar.
Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener lasrestricciones:
| Nº | kg de A | kg de B |
P | x | 8x | 2x |
Q | y | 10y | 5y |
| | 80 | 25 |
Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0, y 0
Conjunto de restricciones:
8x + 10y 80 |
2x + 5y 25 |
x 0, y 0 |
Ejemplo No. 2 Problema de mínimos
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el repartogratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación.
El costo de producción de un yogur de limón es de $30 y $ 20 uno de fresa.
Sirepresentamos por x el número de yogures de limón e y al número de yogures de fresa, se tiene que la función de costo es Z = 30x + 20y.
Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:
* De número : x + y 80
* De fermentación: 0.5x + 0.2y 9000
* Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0
Conjunto de restricciones:
x + y80 |
0.5x + 0.2y 9000 |
x 0, y 0 |
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:
* La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las...
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