plano carteciano

Rectas en el plano cartesiano


La idea de crear un sistema para representar figuras geométricas como rectas, triángulos, círculos, etc. y poder describirlos a través de números fue, sin duda, una de las más grandes ideas matemáticas del siglo XVII. Como algunas otras grandes ideas, fue motivo de discusiones, tensiones y enemistades entre matemáticos famosos. En este caso, entre Fermat yDescartes surgieron discrepancias en torno a la genial creación de ambos, pues, como trabajaron independientemente, había algunas diferencias entre ambos sistemas y cada uno de ellos se empeñó en demostrar que su sistema era el mejor de los dos.

Finalmente, el sistema de Descartes fue adoptado por los demás matemáticos de la época, por permitir mayor facilidad en los cálculos aritméticos yalgebraicos que el propuesto por Fermat.

Las rectas son las figuras geométricas más simples, después de los puntos, y con su estudio en el plano cartesiano, se descubre la gran utilidad que tiene éste en la determinación de las propiedades de las figuras geométricas.

Se puede tomar, por ejemplo, el caso de una recta como la que se muestra a la derecha.






Será mucho más fácil hablar conprecisión numérica acerca de algunas de sus propiedades, si se ubica la recta $l$ en un plano cartesiano, como se hace en la figura de la izquierda.


Una de las propiedades más importantes de una recta es su inclinación, la cual se define en términos matemáticos como la pendiente.

Comparando la recta $l$ con otra, que en este caso puede ser la recta $s$ :






Se podría decir quela recta $l$ es más "inclinada" que la recta $s$ . En términos matemáticos, se dice que $l$ tiene pendiente mayor que $s$ .

Para encontrar una manera de precisar numéricamente las pendientes de estas rectas, hay que observar algo esencial:




Los puntos $T$ y $R$ en la recta $l$ y los puntos $P$ y $Q$ en $s$ , están ubicados de manera que la abscisa de $T$ y $P$ es 1 y la de $R$ y $Q$es 2. Pero mientras que las ordenadas de $T$ y $R$ son 1 y 2, las de $P$ y $Q$son $1/4$ y $1/2$ respectivamente.

Se podría decir que la recta $l$ está "creciendo" más rápido que la $s$ , porque al pasar de la abscisa 1 a la 2, en $l$ hay un crecimiento de 1 unidad en la ordenada, mientras que en $s$ hay un crecimiento de $1/4$ a $1/2$ y

\begin{displaymath}
\frac{1}{2} - \frac{1}{4} =\frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}.
\end{displaymath}

Para ser más precisos, se observa que la proporción entre cambio de la ordenada y cambio de la abscisa, es decir, entre diferencia de la ordenada y diferencia de la abscisa es mayor para $T$ y $R$ que para $P$ y $Q$ :
\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
T:\; (1,1) & P:\; (1,1/4) \\ [.3cm] R:\;...
...laystyle\frac{1/4}{1} =\displaystyle\frac{1}{4}
\end{array}
\end{displaymath}

La pendiente de una recta es justamente esa proporción:
\begin{displaymath}\displaystyle\frac{\mbox{Diferencia de la ordenadas}}{\mbox{Diferencia de las
abscisas}}\end{displaymath}

tomándose esta diferencia entre dos puntos cualesquiera de la recta.
En el ejemplo anterior, se tiene:

Pendiente de $l\; : \;\; 1$

Pendiente de $s\; : \;\; 1/4$Si se vuelve a considerar la recta $l$ utilizada antes, y se calcula su pendiente usando otros dos puntos de ella, por ejemplo, $J$ y $K$ :




Como $\;J: (-1,-1)\;$y $\;K: (4,4)\;$ la pendiente será igual a :
\begin{displaymath}
\frac{4-(-1)}{4-(-1)} = \frac{5}{5} = 1.
\end{displaymath}

Tal como era de esperarse, el resultado de este cociente se mantuvo igual que cuando se calcularonlas diferencias de ordenadas y abscisas de $T$ y $R$ . La razón es muy simple: la proporción entre el cambio de la ordenada y el cambio de la abscisa tiene que mantenerse constante a lo largo de toda la recta, puesto que, por el hecho mismo de tratarse de una recta, su inclinación se mantiene constante.

Incluso hubiera dado igual si se calculan las diferencias así:


\begin{displaymath}...