Polinomios 2 Parte

POLINOMIOS 2° PARTE (operaciones entre polinomios)
 Adición de Polinomios

Definición:
Sean P( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 y Q( x)  bn x n  bn1 x n1  ...  b1 x  b0 la suma de P( x) y Q( x) es
un polinomio cuyos coeficientes se obtienen sumando los coeficientes de los términos de igual grado.
La suma la notamos P( x) + Q( x) donde + es la adición entre polinomios.
Ejemplo:Dados los polinomios P( x)  3x3  x  5
Definición:

y Q( x)  x  3 ; P( x)  Q( x)  3x3  2

Dos polinomios se llaman opuestos cuando la suma de ellos es el polinomio nulo.

Observación: Un polinomio y su opuesto tienen los coeficientes opuestos.
Notación: El opuesto de P(x) lo notamos –P(x)

 Sustracción de Polinomios

Definición: Dados los polinomios P( x) y Q( x)

D( x)  P( x)  Q( x)  D(x)  Q( x)  P( x)
Al polinomio D( x) lo llamamos diferencia entre P( x) y Q( x) y – es la sustracción entre polinomios.
Ejemplo: Dados los polinomios P( x)  3x3  x  5

y Q( x)  x  3 ; P( x)  Q( x)  3x3  2 x  8 ya que

(3x3  2 x  8)  ( x  3)  3x3  x  5
Observación: Para restar se suma el opuesto.



Multiplicación de polinomios (existen varias formas, analizaremos una de ellas) Utilizando la propiedad distributiva

(5x 1)( x3  2 x)  5x.x3  5x.2 x 1.x3  1.2 x  5x 4  10 x 2  x3  2 x
Ejercicio: 1) Investigar que relación existe entre el grado de dos polinomios y el grado de su producto.
2) Siendo P(x) un polinomio cualquiera hallar P( x). ( x) 

Prof. Indra Miguez

y P( x).1 

Página 1

 División de polinomios:
Definición: Dados los polinomios A( x) y D( x)con D( x)   ( x) , el cociente Q( x) y el resto R( x) de la
división A( x) entre D( x) verifican.
 A( x)  D( x).Q( x)  R( x)
 grR( x)  grD( x) o R( x)   ( x)
Los polinomios A( x) y D( x) se denominan respectivamente dividendo y divisor.

Admitiremos que:
 El esquema

A( x) D( x)

implica el cumplimiento de las dos condiciones de la definición y la exigencia

R( x) Q( x)
D( x)   ( x)
Dados A( x) y D( x) con D( x)   ( x) , existen siempre y son únicos e cociente y el resto de la división
A( x) entre D( x) .

Caso particular:


Como x2  4 x  4  ( x  2)( x  2) podemos plantear

En general:

A( x)  D( x).Q( x) 

x2  4 x  4 x  2
x2

0

A( x) D( x)
0

Q( x)

En este caso decimos:





D( x) divide a A( x)
A( x) es divisible entre D( x)
A( x) es múltiplo de D( x)
Ladivisión A( x) entre D( x) es exacta

¿Cómo dividimos?

623
 51
Recordemos el algoritmo para dividir naturales: 113

51
12

1.51  51
2.51  102

102
11

como 11  51 finalizó la división

Realizaremos un esquema análogo para la división entre polinomios:

Prof. Indra Miguez

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5 x3  0 x 2  2 x  4

x 2  3x

5 x3  15 x 2

5 x  15

 15 x 2  2 x  4

5 x( x 2  3 x)  5 x3  15 x2
 15( x 2  3x)  15 x 2  45 x

15 x 2  45 x
47 x  4

como gr (47 x  4)  2 finalizó la división

Este algoritmo nos permite encontrar el cociente y el resto de la división entre dos polinomios, ya que:

( x 2 3x)(5x  15)  47 x  4  A( x) y grR( x)  grD( x)

División entre ( x   )

Vemos un ejemplo:

2 x5  6 x 4  5 x3  11x 2  14 x  7
2 x5  6 x 4

x 3
2 x4  5x2  4 x  2

5x3  11x 2  14 x  7
 5 x3  15 x 2
4 x 2  14 x  7
 4 x 2  12 x
 2x  7
2x  6
1
Observamos que: Q( x)  2 x4  5x 2  4 x  2

y R( x)  1

Sabiendo que el polinomio dividendo es de grado mayor o igual que uno, ¿qué particularidades presentan el
cociente y el resto de una división en la cual el divisor es de la forma ( x   ) ?

Conclusiones
 Por definición de división

gr  R( x)  gr (x   ) o R( x)   ( x) es decir
gr  R( x)  1

o R( x)   ( x)

Por lo tanto si R( x) no es el polinomio nulo, el grado del resto es cero. Este es el motivo por el cual
simbolizaremos a R( x) con r siendo éste un número real.
Ambas condiciones del resto pueden entenderse diciendo que el resto es un número real r constante (que
puede ser cero o no)
 El grado del polinomio cociente es la...