Polinomios Anuladores

POLINOMIOS ANULADORES

Definición:
Sea: T: V V un operador lineal sobre el espacio vectorial V.
Sea:
1. fx=xk+ak-1xk-1+ …. +a1x+a0 , un polinomio mónico de K[x] de grado k.
Sila variable x la sustituimos por T, obtenmos:
2. fT=Tk+ak-1Tk-1+ …+a1T+a0, que es otro operador sobre T, esto es fT:V V.
Si la variable x la sustituimos por la matriz Anxn obtenemos:3. fA=AK+ak-1AK-1+ …. +a1A+a0I, que es otra matriz de nxn.
Si fT=0, diremos que f(x) es un polinomio anulador de T.
Si fA=0, diremos que f(x) es un polinomio anulador de A.
Además, si fA=0,obtenemos una relación lineal entre potencia de A:
4. Ak+ak-1Ak-1+ …+a1A+a0I=0. Ahora, nuestro interés es hallar un polinomio de la forma (1) de grado mínimo, tal que fT=0, este polinomio se llamarapolinomio minimal.
* Sea L(V,V)={T/T:V V} el conjunto de operadores lineales sobre V
Se sabe que la dimensión del espacio vectorial L(V,V) es n2.
Las primeras (n2+1) potencias de T son:I,T,T2,T3,…,Tn2 entonces este conjunto de n2+1 vectores linealmente dependiente, esto es:
C0I+C1T+C2T2+ ….+Cn2Tn2=0
Para los escalares Ci, no todos nulos.
* En la ecuación (4), para cada k setiene un n2 ecuaciones lineales para las incógnitas a0,a1,…, ak-1 en K.
* En (2) dijimos que fT:V→V es un operador sobre V, porque es la suma de operadores Tk+ak-1Tk-1+ …+a1T+a0I
Donde I:V→Ves un operador identidad y T:V→V, T2:V→V, ….. Tk-1:V→V , Tk:V→V
* La notación fTv es como decir (fT)(v), donde
fT:V→V
v→(fT)(v)* La aplicación identidad es : Iv=v
Definición de valor propio de T es: Tv=λv, v≠0
Sus potencias son : T2v=λ2vT3v=λ2v
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