Polinomios De Laguerre

Polinomios de Laguerre
Luis Alberto Correa Marichal
E-mail: lcm_8mm@hotmail.com

Partiendo de la fórmula de Rodrigues como de…nición de los polinomios de Laguerre, en §1 nos ocuparemos de encontrar una representación alternativa en serie de potencias. En §1.1 haremos uso de ella para relacionar los Ln (x) y los Hn (x). A continuación veremos en §2 cuatro relaciones de recurrencia que usaremosen §3 para encontrar una ecuación diferencial satisfecha por los polinomios de Laguerre. En §4, tras probar su ortogonalidad, se discutirá brevemente el problema del desarrollo de funciones en series de Ln (x). Por último, en §5, veremos una aplicación física de los polinomios de Laguerre: el átomo de Hidrógeno, un sistema que juega un papel crucial dentro de la Física Atómica.

1. DEFINICIÓN YREPRESENTACIÓN EN SERIE DE POTENCIAS De…nimos los polinomios de Laguerre como dn x e x xn+ (n = 0; 1; 2:::) (1) n! dxn donde 2 R y es > 1. En la literatura, con frecuencia se llama a los Ln (x), polinomios asociados de Laguerre, entendiendo por polinomio de Laguerre los L0 (x) (con = 0). Aquí, sin embargo, trabajaremos siempre con los Ln (x) n más generales. El primer paso será encontrar unade…nición alternativa en forma de serie de potencias de x a partir de la cual quedará claro que Ln (x) es un polinomio de grado n. En concreto, probaremos que Ln (x) + ex Ln (x) =
n X

k=0

(n + (k +

+ 1) ( x)k + 1) k! (n k)!

(2)

Para ello, partimos de la de…nición 1 y haremos uso de la fórmula de Leibniz para la derivada n-ésima del producto de dos funciones u (x) y v (x) X n dn (uv) = Dn(uv) = Dk u Dn k v = dxn k k=0 n n n D2 u Dn Du Dn 1 v + = uD v + 2 1 Sustituyendo 3 en 1, llegamos a Ln (x) = ex x Dn e x xn+ = n! n x X n = ex Dk e x k n!
k=0 n

(3)
2

v + ::: + vDn u

(4) Dn
k

xn+

1

Además vemos que D e
x

=

e

x

; D2 e

x

=e

x

; :::; Dk e

x

= ( 1) e

k

x

(5)

D xn+ D2 xn+ Ds xn+

= (n + ) xn+ = (n + ) (n + ::: = (n +) (n +

1

1) xn+

2

1) ::: (n +

(s

1)) xn+

s

y, en nuestro caso, sustituyendo s por n Dn
k

k, vemos que (n k 1)) xk+ (6)

xn+

= (n + ) (n +

1) ::: (n +

Provisionalmente, denotaremos al coe…ciente que acompaña a las potencias de x como g(n; ;k) . Sustituyendo 5 y 6 en 4, llegamos …nalmente a
n x X n! k ( 1) e n! k! (n k)! k=0

Ln (x) = ex =

x

g(n;;k) x

+k

=

(7)

k=0

n X

g(n;

;k)

( x) k! (n k)!

k

Nos ocuparemos ahora de probar que los g(n; g(n;
;k)

;k)

pueden en efecto ponerse como (8)

=

(n + (k +

+ 1) + 1)

Resulta inmediato comprobar que la relación es válida en el caso más simple en el que el índice sea natural, dado que entonces podríamos poner (n + (k + + 1) + 1) (n + )! = (k + )! = (n + )(n + =

1) ::: (k +

+ 1) = g(n;

;k)

En el caso general, sin embargo, podríamos rescribir el numerador de 8 aplicando repetidamente la propiedad (x + 1) = x (x). Tendríamos entonces (n + + 1) = (n + ) (n + ) = ::: = = g(n; ;k) (n + (n k = g(n; ;k) (k + + 1) (9) 1)) =

Si sustituimos ahora 9 en 8, vemos que, en efecto, se satisface la igualdad, tal y como pretendíamos ver. Notemos queel hecho de que se haya tomado mayor que 1, garantiza que los argumentos de las gammas de 8 sean ambos positivos. Aunque, podemos extender 2

la de…nición de (x) para x 2 R r Z conservando la propiedad (x + 1) = x (x), si no impusiésemos esta limitación sobre , correríamos el riesgo de manejar eventualmente argumentos enteros negativos, para los que (x) no está de…nida. Notemos también que xdebe ser positiva (x 2 [0; 1)) ya que la potencia real de una base negativa no está de…nida. No habría di…cultades en este sentido si nos limitásemos tomar 2 N. Volviendo a 2, queda claro, como adelantábamos, que Ln (x) es un polinomio de grado n en el que el signo del coe…ciente de la potencia n-ésima es positivo para n par y negativo para n impar. 1.1. Relación con los polinomios de Hermite...