Portafolio de evidencias

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
UNIDAD 1. Tensores.

-Espacios vectoriales.
En el área de las matemáticas, un espacio vectorial se define como una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna conocida como suma y una operación externa conocida como producto por un escalar.
Los elementos de un espacio vectorial se conocen como vectores ylos elementos del cuerpo como escalares.
Vector: cuenta con dirección, magnitud y sentido, es una representación de un fenómeno físico, sirve para determinar por ejemplo transferencias, velocidades, fuerzas, etc.
Escalar: Únicamente cuenta con magnitud y unidades, no representa una dirección determinada.
Para poder considerar que un espacio es vectorial se deben de cumplir los siguientescriterios:

Es una operación interna tal que
1.- Tenga la propiedad conmutativa:


2.- Tenga la propiedad asociativa:


3.- Tenga un elemento neutro:



4.- Tenga elemento opuesto:





Operación externa tal que:
5.- Tenga la propiedad asociativa:



6.- sea elemento neutro del producto:



7.- Tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:8.-Tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:



themercenary.mex.tl/imagesnew/8/5/6/.../Espacios%20vectoriales.pdf
www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_1.html


Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que es precisamente el conjunto de todas lascombinaciones lineales de elementos de S, es decir,

= {a1x1 + ... + anxn | n Î N, ai Î F y xi Î V}.

Definimos la suma de un número finito de subconjuntos S1, ..., Sn de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W1, ..., Wn £ V, entonces

W1 + ... + Wn =

Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W1, W2 £ V, y esfácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x Î W1 y y Î W2 tales que z = x + y).

Definimos el que un subconjunto S Í V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en elsentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.

Para definir la dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S Í V y x Î V - S, entonces el conjunto S È {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S,entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.


TEOREMA I.2 Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S0 Í b con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S È S0) = V.


COROLARIO I.3 Si V posee una base conexactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V linealmente independiente con n elementos es también una base de V.


COROLARIO I.4 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V con más de n elementos es linealmente dependiente. Por lo tanto, cualquier subconjunto linealmente independiente de V contiene como máximo n elementos.


Con estos resultadospodemos finalmente argumentar que en un espacio vectorial con un conjunto generador finito, la dimennsión está bien definida, como así lo indica el siguiente corolario.

COROLARIO I.5 Si V posee una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V deberá tener también n elementos.


En caso de que un espacio vectorial no posea una base finita, la dimensión se define como infinito....