Portafolio

Universidad de Playa Ancha

Profesor:
Patricio Canelo
Alumno:
Víctor Zepeda

ÁLGEBRA ABSTRACTA
Documento desarrollado por estudiantes y profesores de la Universidad de Playa Ancha de
Ciencias de la Educación, con el objetivo de facilitar el aprendizaje de los nuevos estudiantes que
cursan esta asignatura.
1

ÍNDICE

ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

TEORIA DE GRUPOS
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Operación Binaria
Grupoide
Semigrupo
Monoide
Grupo
Grupo Abeliano
Grupo de Matrices
Clases Residuales
Grupo de Permutaciones
Ciclo
Orbita
Grupos Geométricos
Subgrupo
Subgrupo Cíclico
Orden del Grupo
Homomorfismo
Isomorfismo
Teorema de Cayley
Producto Exterior
Producto Interno
Compatibilidad
Coclases
SubgrupoNormal
Centro del Grupo
Índice del Grupo
Teorema Fundamental del Homomorfismo

2

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16
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22
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TEORIA DE ANILLOS
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Anillo
Dominio de Integridad
Cuerpo
Característica
Subanillo
Cuerpo de las Fracciones
Ideal
Anillo Cociente
Ideal Principal
Dominio deIdeales Principales
Ideal Primo
Ideal Maximal
Polinomios
Asociados
Polinomios Irreductibles
Dominio de Factorización Única

74
75
75
76
79
81
84
86
87
88
90
92
95
96
97
100

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ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

OPERACION BINARIA
Sea G un conjunto G ≠ Ø , con () una operación binaria o ley de composición interna, es una
función.
 : G xG  G
(a,b) (a,b) = ab

Donde(a,b) es un par ordenado, con

(a,b) ≠ (b,a)

Ejemplo 1
Sea A={x
Con

 / x = 2p  p

=+

}

(Suma usual)

Entonces

+:AxAA

Sean x,y

A

¿Es operación binaria?

x=2p
y=2q
x+y=2p+2q
x+y=2(p+q)



x+y

A

+ es operación binaria en A
Ejemplo 2
Sea B={x

 / x = 2p-1  p

}

¿ + Es operación binaria?
Sean x,y

B

x=2p-1
y=2q-1
x+y=2p-1+2q-1x+y=2(p+q-1)



x+y

B

+ No es operación binaria en B

4

ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

GRUPOIDE
Sea G

y () una operación binaria en G.

:GxGG
(G,) se llama GRUPOIDE.
Def
Sea (G,) un Grupoide y () es asociativa si:
a(bc)=(ab) c

/

a, b

G

Ejemplo
Sea (, ) definida como
x
ab=a+2b
Sean a,b,c

¿Es Asociativa?

x / a(bc)=(ab) ca(bc)= a(b+2c)
= a+2(b+2c)
=a+2b+2 2c

(, ) no es asociativa, ya que a+2b+2 2c no cumple la forma asociativa.

5

ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

SEMIGRUPO
Cuando la dupla (G,) es GRUPOIDE y () cumple con la asociatividad, la dupla (G,) se llama
SEMIGRUPO.
Def
Se dice que en G existe un elemento neutro o identidad un Semigrupo, si
e

G / ae=ea=a

a

G

“e” Identidad oelemento neutro.

Ejemplo
El “0” es el elemento neutro o identidad en (, +)
Prop
Sea (G, ) es Semigrupo si

e elemento neutro en G es único.

Dem

Por demostrar que
Supongamos que

ae=ea=a donde e es único

e’ talque ae’=e’a=a

a

G

a

G

(*)

(**)

ee’=e’e=e’

/e elemento neutro en (*)

e’e=ee’=e

/e elemento neutro en (**)

e’=e
e es único

6ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

MONOIDE
Cuando (G,) es Semigrupo y además

e “Elemento neutro” entonces (G,) se llama

monoide.
Def
Sea (G,) un monoide, si a

G

es invertible o regular si

a’

G/ aa’=a’a=e

Donde a’ es llamado inverso de a
Prop
Sea (G,) un monoide, con a

G

si a es invertible a’ su inverso es único

Dem

aa’=a’a=e

Inverso a’
Supongamos quea’’ / aa’’=a’’a=e Por demostrar que a’=a’’

Luego

a’e=a’
a’(aa’’) =a’
(a’a) a’’=a’
ea’’=a’
a’’=a’

Ejemplo
Sea (G,) un monoide con x,y
a)

es invertible y

G invertibles, con inversos

,

respectivamente

=x

Dem
Luego x es invertible
Entonces

/

 x =x 

=e

es invertible y su inverso es x luego

=x

7

ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

b)...