potencias de matrices cuadradas

1.

POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS

En este cap´ıtulo vamos a tratar de exponer distintas t´ecnicas para hallar las potencias naturales de
matrices cuadradas. Esta cuesti´
on es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones pr´
acticas.
Como vamos a poder observar el c´
alculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un n´
umero
muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrarestrategias adecuadas que nos permitan
calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas. Empezamos con este
primer ejemplo en el que utilizaremos el m´etodo de inducci´
on.

1.1.

El m´
etodo de inducci´
on

Sea la matriz:

Calcular An




1 0 1
A=0 1 0
1 0 1
∀ n ∈ N.

Soluci´on.–
En cualquier problema de este tipo es conveniente empezar calculando las sucesivas potenciasde
la matriz cuadrada A. En este caso vamos a observar que estas potencias parecen obedecer a un
cierto patr´
on, lo que nos permite la posibilidad de lanzar una hip´
otesis sobre el valor de An que
luego habr´
a que demostrar por inducci´
on.
¿En que consiste el m´etodo de inducci´
on?
El m´etodo de demostraci´
on conocido como inducci´on simple (o m´etodo de inducci´
on, sin
m´
as) se sueleutilizar para demostrar que una cierta proposici´
on P (n), que se refiere a
los n´
umeros naturales n, es cierta para cada n. Este m´etodo procede as´ı:
1.– Demuestra que P (1) es cierta.
2.– Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.
As´ı queda claro que P (n) es cierta para cualquier n ∈ N.
Se puede entender este proceso de demostraci´
on pensando en una fila de fichas dedomin´
o puestas de pie de tal modo que si se cae una se cae la siguiente de la fila. Si te
aseguras de este hecho y tiras la primera, est´
a claro que se caer´
an todas.
En este m´etodo de demostraci´
on la fase 2.– corresponde a asegurarse de que si se cae
una ficha se cae la siguiente, y la fase 1.– corresponde a cerciorarse de que la primera
ficha se cae.
Como ya hemos mencionado, empezamoscalculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada
A:

1

A=

1
0
1

0
1
0

1
0
1

;

A2 =

2
0
2

0
1
0

2
0
2

;

4
0
4

A3 =

0
1
0

4
0
4

8
0
8

A4 =

;

0
1
0

8
0
8

Estas potencias de la matriz A las podemos escribir de otro modo:
A=

1
0
1

0
1
0

1
0
1

2

; A =

21
0
21

0
1
0

21
0
21

3

; A =

Esto nos lleva a proponer como candidata la
 n−1
2
An =  0
2n−1

22
0
22

expresi´
on:

02n−1
1
0 
n−1
0 2

0
1
0

22
0
22

4

; A =

23
0
23

0
1
0

23
0
23

∀n ∈ N

Todav´ıa no hemos demostrado nada. Tenemos que comprobar por el m´etodo de inducci´
on que esta
f´
ormula es cierta:
1. Comprobemos que es cierta para n = 2, n = 3, por ejemplo.
´
Esto
es algo que ya lo hemos hecho previamente y no es necesario repetirlo.
2. Supongamos que la f´ormula es cierta para un h y
h + 1.

porhip´
otesis de inducci´
on
1
↓
h+1
h

0
A
= A·A
=
1

2h 0 2h
=  0 1 0  = Ah+1
2h 0 2h

vamos a ver que tambi´en es cierta para
  h−1

2
0 2h−1
0 1
1
0 =
1 0 · 0
h−1
h−1
0 1
2
0 2



c.q.d.

De este modo ha quedado demostrado por inducci´
on que:
 n−1

2
0 2n−1
1
0 
An =  0
n−1
n−1
2
0 2

1.2.

Otro ejemplo con el m´
etodo de inducci´
on

Sea la matriz:




0 1 0
A=1 0 1
0 1 0
2∀n ∈ N

Calcular An

∀ n ∈ N.

Soluci´on.–
Procedemos del mismo modo que en
de la matriz A.

0

1
A=
0

el caso anterior, calculando las primeras potencias naturales

1 0
0 1 
1 0


0 2 0
A3 =  2 0 2  = 2 · A
0 2 0




1 0 1
A2 =  0 2 0 
1 0 1

;






2 0 2
A4 =  0 4 0  = 2 · A2
2 0 2

;

Este caso es un poco m´
as complicado que el anterior pues las potencias de la matriz Asiguen dos
reglas diferentes dependiendo de que la potencia sea par o impar. Viendo las primeras potencias de
A podemos suponer que:

A2n−1 = 2n−1 · A 
∀n ∈ N

A2n = 2n−1 · A2
Al igual que en el ejemplo anterior hay que demostrarlo por inducci´
on.
1. Ya hemos visto que la f´ormula es cierta para n = 1, n = 2.
2. Supongamos que la f´ormula es cierta para un h y vamos a ver que tambi´en es...