practicas de variable

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PRACTICAS DE VARIABLE COMPLEJA
Departamento de An´lisis Matem´tico
a
a
Curso 2000/2001

Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a
Pr´ctica
a

1
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9

El Sistema de los n´ meros complejos. . . . . . . . . . . . . . .
u
Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Series depotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. . . . . . . .
Integraci´n sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat.
o
´
Indice y Teorema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .
Series de Laurent. Singularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . .
C´lculo de residuos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
aC´lculo de integrales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

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3
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22

Curso 2000/2001

1

Pr´ctica 1
a
El Sistema de los n´ meros
u
complejos.
Un n´mero complejo se escribe como z = x + iy donde x = ez sedenomina parte real de z e
u
y = mz parte imaginaria. El n´mero z = x − iy se llama el complejo conjugado de z. El valor
u
√
absoluto de z = x + iy se define como |z| = x2 + y 2 = z · z. Todo n´mero complejo z = 0 se
u
puede escribir en coordenadas polares como z = |z|(cos t + i sen t), siendo t ∈ R. Cada uno de los
valores t que cumplen la anterior igualdad se dice que es un argumento de z.Dos de estos valores
difieren en un m´ltiplo de 2π, con lo cual s´lo hay un valor en el intervalo ] − π, π], que se denomina
u
o
argumento principal.
En los siguientes problemas se utilizan unicamente las propiedades elementales de las operaciones
´
con n´meros complejos.
u
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 1.1
Expresar los siguientes n´meros complejos en la forma x + iy.
u
(i) (1 + 2i)35
(ii) −3+4i
(iii)

2+i
3−2i
5
16

2

(iv) i + i
1+i
(v) 1+i−8
(vi) (1 + i)n − (1 − i)n
100 k
(vii)
k=1 i
Ejercicio 1.2
Probar que
(i) |z + 1| > |z − 1| ⇐⇒ ez > 0
(ii) mz > 0 e mw > 0 → z−w < 1
z−w
(iii) |z − w|2 ≤ (1 + |z|2 ) · (1 + |w|2 )
Ejercicio 1.3
3.- Probar la ley del paralelogramo: |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ) para todo z, w ∈ C.
Ejercicio 1.4
Sean a,b, z ∈ C tales que |z| = 1. Probar que

az+b
bz+a

= 1.

Ejercicio 1.5
n
j
Sea P (z) un polinomio con coeficientes complejos; esto es, P (z) =
j=0 aj z , y sea P (z) =
n
j
j=0 aj z . Probar que
(i) P (z) = P (z) para todo z ∈ C.
(ii) Si aj ∈ R para todo j y z0 es una ra´ de P (z) = 0, entonces z 0 tambi´n lo es.
ız
e

Variable compleja

Pr´ctica 1:
a

El Sistema de losn´meros complejos.
u

2

Ra´ces de n´ meros complejos
ı
u
Si z ∈ C, con z = 0 y n ∈ N, entonces existen ex´ctamente n n´meros complejos diferentes
a
u
n
z0 , z1 , ... ,zn−1 tales que zk = z para k = 0, . . . , n − 1.
Escribiendo z = |z| · (cos t + i sen t ) con t ∈ [0, 2π[, las ra´
ıces vienen dadas por las f´rmulas
o
t + 2kπ
t + 2kπ
+ i sen
), k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
√
Portanto, dado z = 0, la expresi´n n z designa un conjunto de n elementos.
o
zk =

n

|z|Cdot(Cos

Ejemplo 1.1
Vamos a calcular las ra´
ıces c´bicas de 1.
u
Por ser 1 = cos 0 + i sen 0, se sigue de la f´rmula anterior que las ra´
o√
ıces c´bicas son z0 =
u
√
Cos0 + i sen 0 = 1, z1 = cos 2π + i sen 2π = − 1 + i 23 y z2 = cos 4π + i sen 4π = − 1 − i 23 .
3
3
2
3
3
2
PROBLEMASPROPUESTOS
Ejercicio 1.6
Calcular las siguientes expresiones.
√
(i) 3 2 + 2i.
√
(ii) 4 i.
√
4
(iii) √ 3 + 3i.
(iv) 3 −1.
Ejercicio 1.7
(i) Resolver la ecuaci´n z = z n−1 , siendo n ∈ N y n = 2.
o
(ii) Determinar los valores x, y ∈ R que satisfacen la igualdad x + iy = (x − iy)2 .
Ejercicio 1.8
Probar que las ra´ n-´simas de la unidad distintas de 1 satisfacen la ecuaci´n 1+z+z 2...