pregunta

ALGEBRA LINEAL
Héctor Jairo Martínez R.
Ana María Sanabria R.
Versión 2013-1

2

Índice general
PROLOGO

vii

AGRADECIMIENTOS

xi

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

1

1.3. Representación Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Solución Simultánea de Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2. VECTORES DE IRn

29

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Operaciones con Vectores . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Combinación Lineal y Conjuntos Generado y Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Producto Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

422.7. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.8. Rectas, Planos e Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3. MATRICES

91

3.1. Introducción . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.2. Definición y Tipo de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.3. Suma y Producto por escalar de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.4. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

96

i

ÍNDICE GENERAL

ii

3.5. Matrices Invertibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6. Transposición de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 107
3.8. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4. ESPACIOS VECTORIALES

137

4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2. Definición y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5. Bases y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6. Coordenadas Respecto a una Base Ordenada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7. Rango y Nulidad de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8. Producto Escalar y Bases...