Presentacion Mate

UNIDAD 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales
Pero ¿Qué es una ecuación diferencial lineal?
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sealineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa quees de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales?
Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.
Por ejemplo, las leyes de Newton.donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.
Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden npuede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferencialesde primer orden tiene la forma:

...

4.1 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace
Ejemplo

| | |
| | |
Con las condiciones
Solución
Si y , entonces
| | |
| | |

o agrupando
| | |
| | |
Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De dondeobtenemos que

4.2 Problemas de aplicación
Problema 1.- con las condiciones:
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-- Sumando los términos semejantes
Paso 3.- Se factoriza la transformada:
Paso 4.- Se despeja la transformada:
Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace
;
Paso 6.-   
;  
Paso 7.- Se obtiene elresultado final:
Resultado
 
La solución de la ecuación, puede obtenerse en el Matemática con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4 E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]
Una gráfica de la solución es:

Problema 2. Condiciones iniciales
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a
término.
Paso 2.-
Paso 3.- Se factoriza la ecuación;
Paso 4.- Sedespeja la transformada:
Paso 5.- Se obtiene la transformada inversa de toda la ecuación.
Fórmulas de fracciones parciales:

Paso 6.- Se encuentra el valor de las constantes utilizando el método de Fracciones Parciales.
L
Paso 7.-
Paso 8.- .
Paso 9.- Se aplica la propiedad de las igualdades factorizando los términos en S, del mismo exponente:

Una vez factorizado los términos, seigualan con su correspondiente valor que se encuentra en el lado derecho de la ecuación:

;
Paso 10.- Una vez obtenidos los valores de las constantes se procede a sustituir.

Resultado  
La solución de la ecuación se obtiene en el Matemática con la instrucción:
DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4 y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]
Una gráfica de la solución obtenida es:

 
Problema 3.-...