Proba

Universidad de Chile
MA34A-03: Probabilidades y Procesos Estocásticos
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Profesor Raúl Gouet
Departamento de Ingeniería Matemática
Semestre Otoño, 2008CLASE AUXILIAR 27/06/08
ANDRÉS ITURRIAGA J.

Problema 1:
El ingreso mensual de las personas X puede considerarse una variable aleatoria producto
de muchas variables aleatorias independientesentre si (por ejemplo sexo, edad, educación, etc.), es
2
decir, X = X1 X2 . . . Xn con E(Xi ) = µi y Var(Xi ) = σi . Supongamos que la ley de cada variable
Xi es conocida. Determine, para n grande, ladensidad de X.

Problema 2:
1
Sean (Xi )∞ v.a.i.i.d. con esperanza µ desconocida y varianza σ 2 = 4. Se define X n = n n Xi .
1
1
En este problema queremos diseñar una estrategia para confirmaro rechazar la hipótesis de que la
esperanza de estas variables es µ0 (un valor real conocido).

1. Calcule E(X n ) en función de µ y Var(X n ).
2. Si µ = µ0 y c > 0, justifique que
l´ P(|X n − µ0| ≥ c) = 0
ım

n→∞

3. Suponga ahora que las variables Xi son normales, que n = 100, y que µ = µ0 . Encontrar el
menor valor c > 0 tal que
P(|X n − µ0 | ≥ c) ≤ 0,1
Indicación: Si Z sigue Normal(0, 1) ⇒ P(Z ≤ 1,64) = 0,95.
4. Uno rechaza la hipótesis que µ = µ0 con probabilidad 0,1 cuando |X n − µ0 | ≥ c. Proponga
un método para confirmar o rechazar la hipótesis µ = µ0 cuando lasvariables aleatorias Xi
no son necesariamente normales como en el punto anterior. Justifique.

Problema 3:
(Problema de la Ruina del Jugador) Dos jugadores, A y B, apuestan al lanzamiento de una
moneda.En cada tirada, si la moneda sale cara, A gana 1 unidad. En caso contrario, es decir, si
sale sello, entonces pierde 1 unidad. El juego continua hasta que uno de ellos pierde todo. Suponga
laprobabilidad que salga cara igual a p. Analice la posibilidad de modelar la situación anterior
mediante una Cadena de Markov homogenea y calcule la probabilidad que A termine con todo el
dinero si...