Probabilidad con ejercicios

Distribuciones
 de
 Probabilidad
 Multivariantes
 

 
Que
  tan
  común
  es
  encontrarse
  con
  problemas
  que
  dependen
  de
  múltiples
  variables
  al
 
mismo
 tiempo?
 

 
Que
 ocurre
 cuando
 un
 problema
 esta
 representado
 por
 el
 comportamiento
 simultaneo
 de
 
múltiples
 variables?
 

 

 

 

 

 Como
 podríamos
 resolver
 el
 siguiente
 problema:
 

 
En
 un
 laboratorio
 están
 experimentando
 con
 una
 bacteria
 mortal,
 suponga
 que
 una
 persona
 
que
 esta
 en
 contacto
 con
 dicha
 bacteria
 se
 contamina
 con
 una
 probabilidad
 p.
 Si
 él
 numero
 
de
 científicos
 que
 entran
 al
 laboratorio tiene
 una
 distribución
 de
 PP( λ )
 y
 ocurre
 un
 accidente
 
en
 el
 laboratorio
 con
 el
 cual
 se
 libera
 la
 bacteria:
 

 
a)   ¿Cuál
 es
 la
 probabilidad
 de
 que
 nadie
 se
 contagie?
 
b)   Cuál
 es
 la
 probabilidad
 de
 que
 se
 contagien
 i
 personas?
 

 
Supongamos
 el
 ejemplo
 clásico
 del lanzamiento
 de
 dos
 dados
 de
 6
 caras.
 Si
 definimos
 a
 
 
𝑌" = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
 𝑑𝑒
 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜
 𝑒𝑛
 𝑒𝑙
 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟
 𝑑𝑎𝑑𝑜
 
𝑌4 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜
 𝑑𝑒
 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜
 𝑒𝑛
 𝑒𝑙
 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
 𝑑𝑎𝑑𝑜
 

 
tendríamos
  un
  espacio
  muestral
  conformado
  por
  36
  eventos,
  los
  cuales
  estarían
  definidos
 
por
 las
 duplas del
 tipo
  𝑌" , 𝑌4 = 1,1 1,2 1,3 ⋯ 6,5 6,6
 

 
En
 un
 dado
 no
 cargado
 (“Justo”)
 la
 probabilidad
 de
 la
 ocurrencia
 de
 cada
 evento
 para
 este
 
ejemplo
 seria
 la
 misma
  1 36 .
 

 
A
  continuación
  vemos
  una
  representación
  grafica
  de
  la
  función
  de
  probabilidad
  bivariante
 
en términos
 de
  𝑌" , 𝑌4
 

 


 


 


 

Para
 variables
 aleatorias
 discretas
 definimos:
 

 
Sean
  𝑌"
  y
  𝑌4
  dos
  variables
  aleatorias
  discretas.
  La
  función
  de
  probabilidad
  conjunta
  o
 
bivariante
 para
 
 𝑌"
 y
 𝑌4
 esta
 dada
 por:
 

 
𝑃
 𝑦" , 𝑦4 = 𝑃
 𝑌" = 𝑦" , 𝑌4 = 𝑦4
 con
 −∞ < 𝑦" <∞
 ;
 −∞ < 𝑦4 < ∞
 

 
Y
 se
 deben
 cumplir
 las
 siguientes
 condiciones:
 

 
Ø   𝑃
 𝑦" , 𝑦4 ≥ 0
 𝑝𝑎𝑟𝑎
 𝑡𝑜𝑑𝑎
 𝑦" , 𝑦4
 

 
Ø   ∀FH ∀FG 𝑃
 𝑦" , 𝑦4 = 1
 

 

 Por
 ejemplo
 para
 el
 caso
 de
 los
 dos
 dados:
 

 
𝑃 2 ≤ 𝑌" ≤ 3,1 ≤ 𝑌4 ≤ 2 = 𝑃 2,1 + 𝑃 2,2 + 𝑃 3,1 + 𝑃 3,2 = 4 36
 

 
La
 función
 de
 distribución conjunta
 𝐹 𝑦" , 𝑦4
 es:
 

 
FH
FG
𝐹 𝑦" , 𝑦4 = 𝑃 𝑌" ≤ 𝑦" , 𝑌4 ≤ 𝑦4 = QNOP
MNOP 𝑃
 𝑌" = 𝑎, 𝑌4 = 𝑏
 
 

 
con
 −∞ < 𝑦" < ∞
 ;
 −∞ < 𝑦4 < ∞
 

 
Continuando
 con
 el
 ejemplo
 de
 los
 dos
 dados
 calcular
 𝐹 −1,2
 y
 𝐹 1.5
 ,2
 

 
Teniendo
 en
 cuenta
 que
 para
 este
 caso
 𝑦"
 toma
 valores
 entre
 1
 y
 6 entonces:
 

 
𝐹 −1,2 = 𝑃 𝑌" ≤ −1, 𝑌4 ≤ 2 = 0
 

 
Para
 el
 segundo
 caso
 tenemos:
 

 
𝐹 1.5
 ,2 = 𝑃 𝑌" ≤ 1.5
 , 𝑌4 ≤ 2 = 𝑃 1,1 + 𝑃 1,2 = 2 36
 

 

Para
 variables
 aleatorias
 continuas
 
 definimos:
 


 
Sean
  𝑌"
  y
  𝑌4
  dos
  variables
  aleatorias
  continuas
  con
  función
  de
  distribución
  conjunta
 
𝐹 𝑦" , 𝑦4 . Si
 existe
 una
 función
 no
 negativa
 𝑓 𝑦" , 𝑦4 ,
 tal
 que
 

 
FH

FG

𝑓 𝑡" , 𝑡4 d𝑡4 𝑑𝑡"
 
 

𝐹 𝑦" , 𝑦4 =

 

OP OP

Para
  toda
  −∞ < 𝑦" < ∞
 ;
 −∞ < 𝑦4 < ∞,
  entonces
  se
  dice
  que
  𝑌"
  y
  𝑌4
  son
  variables
 
aleatorias
  conjuntas.
  La
  función
  𝑓 𝑦" , 𝑦4 recibe
  el
  nombre
  de
  función...