Problemario
Páginas: 57 (14095 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2015
´
INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
ESIME, ZACATENCO
´
ACADEMIA DE MATEMATICAS,
ICE
PROBLEMARIO RESUELTO
DE
´
FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
POR:
´
VEGA RAMIREZ
GUILLERMO
´ NEZ
˜
IBA
SANDOVAL ARACELI
´
Indice
´
1. NUMEROS
COMPLEJOS
2.
3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15
3. MATRICES Y DETERMINANTES
28
4.
VECTORES
40
5.
´ A ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES
INTRODUCCION
53
2 1.
´
NUMEROS
COMPLEJOS
1. Resuelva las siguientes operaciones
a)
[(2, 3) − (4, 2)] (1, −3)
Soluci´on.
[(2, 3) − (4, 2)] (1, −3) = (2 − 4, 3 − 2)(1, −3) = (−2, 1)(1, −3) =
[(−2)(1) − (1)(−3), (1)(1) + (−3)(−2)] = (−2 + 3, 1 + 6) = (1, 7)
b)
1 −2
,
5 5
(2, 3)
+ (4, 2)
Soluci´on.
(2, 3)
1 −2
,
5 5
=
+ (4, 2) =
8
−1
+ 4,
+2
5
5
2 6 3 4
+ , −
5 5 5 5
=
8 −1
,
5 5
+ (4, 2) =
8 + 20 −1 +10
,
5
5
=
28 9
,
5 5
2. Resuelva las siguientes operaciones
a)
(4, 1)
(2, 5)
Soluci´on.
(4, 1)
= (4, 1)(2, 5)−1 = (4, 1)
(2, 5)
(4, 1)
2 −5
,
29 29
=
2
−5
,
22 + 52 22 + 52
8
5 2
20
+ ,
−
29 29 29 29
3
=
=
13 −18
,
29 29
+ (4, 2) =
b)
(3 − 5i)(6 + i) +
(1 + 3i)
(−5 + 2i)
Soluci´on.
(3 − 5i)(6 + i) +
(1 + 3i)
= 18 + 3i − 30i − 5i2 +
(−5 + 2i)
= 23 − 27i +
−5 − 2i − 15i − 6i2
25 +4
= 23 +
1 + 3i
−5 + 2i
= 23 − 27i +
−5 − 2i
−5 − 2i
=
1 − 17i
29
1
17
668 800
− 27i − i =
−
i
29
29
29
29
3. Resuelva las siguientes operaciones
a)
1 + 2i 2 − i
+
3 − 4i
5i
Soluci´on.
1 + 2i 2 − i
+
=
3 − 4i
5i
=
1 + 2i
3 − 4i
3 + 4i
2−i
+
3 + 4i
5i
−5i
−5i
=
3 + 6i + 4i + 8i2 −10i + 5i2
+
=
9 + (−4)2
(5)2
3 − 8 + 10i −5 − 10i
−5 + 10i − 5 − 10i
−10
−2
+
=
=
=
25
25
25
25
5
b)
(2+ i)2
3 − 4i
Soluci´on.
(2 + i)2
(2 − i)2
4 − 4i + i2
4 − 4i − 1
3 − 4i
=
=
=
=
=1
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
4. Encuentre el modulo de
i(2 + 3i)(5 − 2i)(2 − 3i)2
(−2 − 2i)(8 + 6i)2
Soluci´on.
4
i(2 + 3i)(5 − 2i)(2 − 3i)2
|i||(2 + 3i)||(5 − 2i)||(2 − 3i)|2
=
=
(−2 − 2i)(8 + 6i)2
|(−2 − 2i)||(8 + 6i)|2
2
(0)2 + (1)2
(2)2 + (3)2
(5)2 + (−2)2
=
(2)2 + (−3)2
=
2
(−2)2
+
(−2)2
√√ √
√
1 13 29 13
=
√ √
2
8 100
(8)2
+
(6)2
2
= 0,892419
5. Obtenga el m´odulo y argumento de los siguientes n´umeros complejos y representelos en el plano complejo
√
a) z = 1 + 3i
2
1+ i √3
|z|=
Soluci´on.
√
(1)2 + ( 3 )2 = 2
|z| =
√
3
1
−1
θ = tan
b) z = 1 −
√
=
=
π
rad
3
3i
Soluci´on.
√
(1)2 + (− 3 )2 = 2;
θ = 2π − tan
=2
√
3
1
−1
|z|
|z| =
=
=
1- i √3
5π
rad
3
c)z = −2 + 6i
Soluci´on.
q=1.89454
|z| =
√
(−2)2 + (6)2 = 40
θ = π − tan−1
6
2
= 1,89254 rad
5
d) z = −2 − 6i
θ=4.39063
Soluci´on.
(−2)2 + (−6)2 =
√
40
θ = π + tan−1
6
2
|z|=
√4
0
|z| =
= 4,39063 rad
-2- 6 i
6. Exprese en forma polar y en forma exponencial:
√
a) z = 1 + 3i
Soluci´on.
Forma polar:
√
b) z = 1 − 3i
z = 2 cos
π
+ i sen (π/3)
3
z = 2 cos
5π
3
Forma exponencial:2e(π/3)i
Soluci´on.
Forma polar:
+ i sen
5π
3
Forma exponencial: 2e(5π/3)i
c) z = −2 + 6i
Soluci´on.
Forma polar:
z=
√
40 [cos (1, 89254) + i sen (1,89254)]
√
Forma exponencial:
40e(1,89254)i
d) z = −2 − 6i
Soluci´on.
Forma polar: z =
√
40 [cos (4, 39063) + i sen (4, 39063)]
7. Escriba en forma rectangular y polar a los n´umeros complejos:
a) z =
e
3+(π/3)i
Soluci´on.
6
√
Formaexponencial:
40e(4,39063)i
Forma rectangular: z = 10,04276 + 17,39458i
π
π
+ i sen
3
3
Forma polar: z = e3 cos
π
b) z = 4e 6 i
Soluci´on.
Forma rectangular: z = 3,4641 + 2i
π
π
+ i sen
6
6
Forma polar: z = 4 cos
8. Exprese en forma rectangular y en forma exponencial:
a) z1 = 5 cos
π
π
+ i sen
4
4
Soluci´on.
Forma rectangular: z = 3,5355 + 3,5355i
e
Forma exponencial: z = 5
(π/4)i
b) z2= 4(cos(200o ) + isen(200o ))
Soluci´on.
Forma rectangular: z = −3,75877 − 1,36808i
e
Forma exponencial: z = 4
c) z3 = 5(cos(−60o ) + isen(−60o ))
Soluci´on.
e
Forma rectangular: z = 2,5 − 4,33i
Forma exponencial: z = 5
9. Calcule
(1 + 2i)6 (2 + 3i)8
Soluci´on.
Sea z1 = 1 + 2i; z2 = 2 + 3i
√
r1 = (1)2 + (2)2 = 5; θ1 = tan−1
r2 =
(2)2 + (3)2 =
√
13; θ1 = tan−1
2
1
3
2
= 1,107148718
=...
INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
ESIME, ZACATENCO
´
ACADEMIA DE MATEMATICAS,
ICE
PROBLEMARIO RESUELTO
DE
´
FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
POR:
´
VEGA RAMIREZ
GUILLERMO
´ NEZ
˜
IBA
SANDOVAL ARACELI
´
Indice
´
1. NUMEROS
COMPLEJOS
2.
3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15
3. MATRICES Y DETERMINANTES
28
4.
VECTORES
40
5.
´ A ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES
INTRODUCCION
53
2 1.
´
NUMEROS
COMPLEJOS
1. Resuelva las siguientes operaciones
a)
[(2, 3) − (4, 2)] (1, −3)
Soluci´on.
[(2, 3) − (4, 2)] (1, −3) = (2 − 4, 3 − 2)(1, −3) = (−2, 1)(1, −3) =
[(−2)(1) − (1)(−3), (1)(1) + (−3)(−2)] = (−2 + 3, 1 + 6) = (1, 7)
b)
1 −2
,
5 5
(2, 3)
+ (4, 2)
Soluci´on.
(2, 3)
1 −2
,
5 5
=
+ (4, 2) =
8
−1
+ 4,
+2
5
5
2 6 3 4
+ , −
5 5 5 5
=
8 −1
,
5 5
+ (4, 2) =
8 + 20 −1 +10
,
5
5
=
28 9
,
5 5
2. Resuelva las siguientes operaciones
a)
(4, 1)
(2, 5)
Soluci´on.
(4, 1)
= (4, 1)(2, 5)−1 = (4, 1)
(2, 5)
(4, 1)
2 −5
,
29 29
=
2
−5
,
22 + 52 22 + 52
8
5 2
20
+ ,
−
29 29 29 29
3
=
=
13 −18
,
29 29
+ (4, 2) =
b)
(3 − 5i)(6 + i) +
(1 + 3i)
(−5 + 2i)
Soluci´on.
(3 − 5i)(6 + i) +
(1 + 3i)
= 18 + 3i − 30i − 5i2 +
(−5 + 2i)
= 23 − 27i +
−5 − 2i − 15i − 6i2
25 +4
= 23 +
1 + 3i
−5 + 2i
= 23 − 27i +
−5 − 2i
−5 − 2i
=
1 − 17i
29
1
17
668 800
− 27i − i =
−
i
29
29
29
29
3. Resuelva las siguientes operaciones
a)
1 + 2i 2 − i
+
3 − 4i
5i
Soluci´on.
1 + 2i 2 − i
+
=
3 − 4i
5i
=
1 + 2i
3 − 4i
3 + 4i
2−i
+
3 + 4i
5i
−5i
−5i
=
3 + 6i + 4i + 8i2 −10i + 5i2
+
=
9 + (−4)2
(5)2
3 − 8 + 10i −5 − 10i
−5 + 10i − 5 − 10i
−10
−2
+
=
=
=
25
25
25
25
5
b)
(2+ i)2
3 − 4i
Soluci´on.
(2 + i)2
(2 − i)2
4 − 4i + i2
4 − 4i − 1
3 − 4i
=
=
=
=
=1
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
4. Encuentre el modulo de
i(2 + 3i)(5 − 2i)(2 − 3i)2
(−2 − 2i)(8 + 6i)2
Soluci´on.
4
i(2 + 3i)(5 − 2i)(2 − 3i)2
|i||(2 + 3i)||(5 − 2i)||(2 − 3i)|2
=
=
(−2 − 2i)(8 + 6i)2
|(−2 − 2i)||(8 + 6i)|2
2
(0)2 + (1)2
(2)2 + (3)2
(5)2 + (−2)2
=
(2)2 + (−3)2
=
2
(−2)2
+
(−2)2
√√ √
√
1 13 29 13
=
√ √
2
8 100
(8)2
+
(6)2
2
= 0,892419
5. Obtenga el m´odulo y argumento de los siguientes n´umeros complejos y representelos en el plano complejo
√
a) z = 1 + 3i
2
1+ i √3
|z|=
Soluci´on.
√
(1)2 + ( 3 )2 = 2
|z| =
√
3
1
−1
θ = tan
b) z = 1 −
√
=
=
π
rad
3
3i
Soluci´on.
√
(1)2 + (− 3 )2 = 2;
θ = 2π − tan
=2
√
3
1
−1
|z|
|z| =
=
=
1- i √3
5π
rad
3
c)z = −2 + 6i
Soluci´on.
q=1.89454
|z| =
√
(−2)2 + (6)2 = 40
θ = π − tan−1
6
2
= 1,89254 rad
5
d) z = −2 − 6i
θ=4.39063
Soluci´on.
(−2)2 + (−6)2 =
√
40
θ = π + tan−1
6
2
|z|=
√4
0
|z| =
= 4,39063 rad
-2- 6 i
6. Exprese en forma polar y en forma exponencial:
√
a) z = 1 + 3i
Soluci´on.
Forma polar:
√
b) z = 1 − 3i
z = 2 cos
π
+ i sen (π/3)
3
z = 2 cos
5π
3
Forma exponencial:2e(π/3)i
Soluci´on.
Forma polar:
+ i sen
5π
3
Forma exponencial: 2e(5π/3)i
c) z = −2 + 6i
Soluci´on.
Forma polar:
z=
√
40 [cos (1, 89254) + i sen (1,89254)]
√
Forma exponencial:
40e(1,89254)i
d) z = −2 − 6i
Soluci´on.
Forma polar: z =
√
40 [cos (4, 39063) + i sen (4, 39063)]
7. Escriba en forma rectangular y polar a los n´umeros complejos:
a) z =
e
3+(π/3)i
Soluci´on.
6
√
Formaexponencial:
40e(4,39063)i
Forma rectangular: z = 10,04276 + 17,39458i
π
π
+ i sen
3
3
Forma polar: z = e3 cos
π
b) z = 4e 6 i
Soluci´on.
Forma rectangular: z = 3,4641 + 2i
π
π
+ i sen
6
6
Forma polar: z = 4 cos
8. Exprese en forma rectangular y en forma exponencial:
a) z1 = 5 cos
π
π
+ i sen
4
4
Soluci´on.
Forma rectangular: z = 3,5355 + 3,5355i
e
Forma exponencial: z = 5
(π/4)i
b) z2= 4(cos(200o ) + isen(200o ))
Soluci´on.
Forma rectangular: z = −3,75877 − 1,36808i
e
Forma exponencial: z = 4
c) z3 = 5(cos(−60o ) + isen(−60o ))
Soluci´on.
e
Forma rectangular: z = 2,5 − 4,33i
Forma exponencial: z = 5
9. Calcule
(1 + 2i)6 (2 + 3i)8
Soluci´on.
Sea z1 = 1 + 2i; z2 = 2 + 3i
√
r1 = (1)2 + (2)2 = 5; θ1 = tan−1
r2 =
(2)2 + (3)2 =
√
13; θ1 = tan−1
2
1
3
2
= 1,107148718
=...
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