problemas de derivadas

Problemas de derivadas

1. Halla los valores de las constantes a, b y c para los que las gráficas de los polinomios: se cortan en el punto (1, 2) con la misma pendiente.

2. Hallar los ángulos bajo los que se cortan las líneas siguientes:
a) La recta y la parábola ,
b) las curvas y = senx, y = cosx en el intervalo (0,-2).

3. Dos puntos móviles siguen trayectorias coplanarias cuyasrespectivas ecuaciones referidas a un mismo sistema de coordenadas rectangulares son y = x2 + x − 6 e
y =12 (x2 − 2x + 8). El movimiento cumple la condición de que en todo instante los puntos tienen igual abscisa. Calcula las coordenadas de dichos móviles cuando:
a) se mueven paralelamente,
b) se mueven perpendicularmente.

4. Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 1/x en el punto x=1 ydetermina el área limitada por dicha tangente y los ejes coordenados. Demuestra que el área en cuestión es independiente del punto elegido.

5. Un punto P se mueve en el plano tal que sus coordenadas después de t segundos son:(4cos2t, 7sen2t), medida en centímetros.
a) Probar que P describe un camino elíptico.
b) Hallar una fórmula para la distancia al origen en el instante t.
c) Calcular lavelocidad instantánea con que se aleja del origen en el instante t = .
6. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas. El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/s. Cuando su radio es 120 cm.,¿a qué ritmo está creciendo el área total A de la zona perturbada?

7. Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 metros cúbicospor minuto. Hallar la razón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 1,5 m. (Supóngase que el radio del cono es igual a su altura.)

8. Un avión que vuela a 8 Km. de altura pasa justo sobre una antena de radar. Cuando la distancia entre la cola del avión y el radar es de 15 Km., el radar detecta que dicha distancia está cambiando a razón de 350 Km/h. ¿Cuál es la velocidad delavión?

9. Utilizando el concepto de diferencial halla un valor aproximado de cos 61º (expresa los ángulos en radianes).

10. Utilizando el concepto de diferencial, halla de manera aproximada el incremento de volumen de una esfera de 30 cm. de radio cuando este aumenta en 0,5 milímetros.
11. El período de un péndulo viene dado por donde L es la longitud del péndulo, g es la aceleración de lagravedad y T el tiempo (en segundos). Si el péndulo se ha calentado de manera que su longitud ha crecido un 0,5%:
a) Calcular el porcentaje aproximado de cambio del período (porcentaje del error relativo de T)
b) Con lo obtenido en a), hallar el error aproximado del reloj de dicho péndulo en un día.

12. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 cm2 de material. ¿Quédimensiones producirían una caja de volumen máximo?

13. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que rompiéndolo en dos partes, existe una depreciación de su valor y que esta depreciación es máxima cuando las dos partes son iguales.

14. Una compañía de autobuses alquila un autobús de 50 plazas a grupos de 35 personas o más. Si un grupo contiene exactamente 35personas, cada persona paga 6.000 ptas. En grupos mayores, la tarifa de todos se reduce 100 ptas. por cada persona que sobrepase las 35. Determinar el tamaño del grupo para el cual los ingresos de la compañía serán mayores.

15. Un coche circula por una autopista con limite de velocidad de 120 Km/h. Pasa ante dos coches patrulla equipados con radar, separados entre si por 9 Km, a las 6h. 12m. ylas 6h. 16m. respectivamente y ambos le miden 105 Km/h. ¿Ha incurrido en infracción de tráfico en dicho tramo?

16. En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y, además la suma de sus tres dimensiones debe ser 72. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.
17. Encontrar...